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Composición de movimientos

De Wikillerato

Composición de movimientos rectilíneos y uniformes

En la vida práctica se trataría del movimiento que sigue un nadador que atraviesa un río, de orilla a orilla, de corriente muy suave en ausencia de remolinos.

Imagen:Composicion_movimientos_uniformes.gif


La intención del nadador es atravesar el río de modo perpendicular a las orillas. De hecho, si tomara un objeto en la otra orilla como referencia, justo enfrente del lugar desde donde se lanzaría al agua, para llegar a ese punto, se vería obligado a realizar un esfuerzo contra la corriente y nadar con sus brazos de modo oblicuo. En caso contrario sus brazadas le llevarán a un lugar de la orilla opuesta río abajo, más o menos abajo en función de la velocidad de la corriente y del tiempo que tardase en atravesar el río. Su dirección sería la de la resultante de la propia velocidad y de la de la corriente.

Para este movimiento tendríamos una ecuación:

\vec v_{resultante} = v_{corriente} \,\vec i + v_{nadador}\, \vec j

de modo que el módulo de la velocidad resultante viene dado por:

  v_{resultante} = \sqrt {v_{corriente}^2\ + v_{nadador} ^2}


Composición de un movimiento rectilíneo y uniforme con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado perpendicular al anterior

Consideremos el lanzamiento de una partícula sometida al campo gravitatorio terrestre, que consideraremos siempre vertical e igual a - g. La velocidad de la partícula forma un ángulo \alpha\neq\pi/2 con la horizontal en el instante del lanzamiento.

Nosotros podremos abordar el estudio del movimiento de la partícula como el resultado de la suma geométrica de un movimiento rectilíneo y uniforme sobre el eje OX y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con aceleración igual a â g que se desarrolla sobre el eje 0Y.

a_x = 0  y  a_y = -g

v_x = v_0\cos\alpha  y  v_x = v_0\sin\alpha - gt

x = v_0\cos\alpha\, t  y  y = v_0\sin\alpha\, t  - \frac{1}{2}gt^2

A estas ecuaciones se les llama ecuaciones paramétricas del movimiento, pues ambas coordenadas, x e y, son función del parámetro t.

Imagen:tiro_parabolico.gif

Si eliminamos el tiempo entre las dos últimas ecuaciones paramétricas, se obtiene

 y = x \tan\alpha- \frac{1}{2} \frac{x^2}{ v_0^2\ cos^2\alpha}

De las ecuaciones paramétricas se puede deducir:

Altura y alcances máximos:

La altura máxima y^{*} corresponde al punto donde v_y = 0, es decir 0 = v_0 \sin \alpha - g t, de donde

 t = \frac{ v_0 \sin\alpha }{ g }

Sustituyendo este valor de t en la ecuación de x

 x = v_0 \cos\alpha \frac{ v_0 \sin\alpha }{ g  }

 x = \frac{ v_0^2\ sin\alpha \cos\alpha }{ g  }

multiplicando y dividiendo por 2

 x = \frac{v_0^2\ sin{2\alpha}} { 2 g  }

Esta es la abcisa que corresponde a la altura máxima y^{*} , teniendo en cuenta que la parábola es una curva simétrica con respecto al vértice, tendremos que el alcance máximo x^{*} será el doble del de la y máxima, por lo tanto

 x^{*}  = \frac{ v_0^2\sin 2\alpha} {  g  }

Para conocer la y^{*} nos bastará sustituir el t correspondiente en la ecuación paramétrica de la y:

 y^{*} = v_0 \sin\alpha \frac{ v_0 \sin\alpha}{ g } - \frac {1}{2} g \left (\frac{ v_0 \sin\alpha }{g}\right )^2

Con lo cual  y^{*} = \frac{ v_0^2\ sin^2\alpha}{ 2 g  }

   
 
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