Definición de derivada

De Wikillerato

La derivada de la función $\mathrm{f}$ en el punto $x \, = \, a$ , si existe, es el valor del limite:

$\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> $ .

Si este limite es un número real, la función $\mathrm{f}$ es derivable en $x \, = \, a$ . Si el límite anterior no es un número real o el límite no existe, la función $\mathrm{f}$ NO es derivable en $x = a$ .

La derivada de la función $\mathrm{f}$ en $x = a$ se denota por $\mathrm{f}^\prime \left( <pre> \, a \, </pre> \right)$ .

$\mathrm{f}^\prime \left( <pre> \, a \, </pre> \right) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> $ .

Ejemplo 1

Calculemos la derivada de $\mathrm{f} \left( <pre> \, x \, </pre> \right) \, = \, x^2$ en $x \, = \, 2$ :

$\mathrm{f}^\prime \left( <pre> \, 2 \, </pre> \right) \, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \, <pre> \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac </pre> {\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,$

$\, = \, \lim_{h \to 0} \frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \left( <pre> \, h \, + 4 \, \, \right) \, = \, 4 </pre> $

Ejemplo 2

La función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left| \, x \, \right|$ NO es derivable en $x = 0$ ya que no existe el limite

$\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \, <pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} </pre> $

No existe por que

$\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \, <pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} </pre> $