Ecuación de las ondas armónicas

De Wikillerato

a) Doble periodicidad

Pero veamos cómo varía, en función del tiempo, la magnitud característica de la perturbación que se propaga en el medio. Para ello consideraremos, un punto M, situado en la abcisa x del medio (siendo OM la distancia al origen de la cuerda o al foco emisor en la superficie del agua)

Sabemos que $v= \frac{x}{t}$ siendo t el tiempo que tarda la perturbación en alcanzar el punto x.

Pero también

$v = \frac{ \lambda}{T} = \lambda f$ , de donde $\lambda = v T$

Como ya se vio en el estudio del movimiento oscilatorio armónico, el punto $O$ , lugar donde situamos al foco emisor, oscila de acuerdo con la ecuación:

$y = A \mbox { } sen (\omega t + \varphi_0)$

Para hacer más sencillos los cálculos consideraremos momentáneamente que $\varphi_0 = 0$ .

Observamos que cuando ha transcurrido un tiempo igual $T$ , en la cuerda se ha descrito una onda completa, el origen $O$ vuelve a vibrar entre $T$ y $T + \frac {T} {4}$ , del mismo modo que entre $0$ y $\frac {T} {4}$ , luego cada nuevo periodo $T$ , un punto de la cuerda repite sus oscilaciones transversales. La onda es periódica en el tiempo.

De igual modo, si nos movemos a lo largo de la cuerda, se observa que al avanzar segmentos de longitud $\lambda$ los puntos a esas distancias se mueven de igual modo, decimos que se encuentran en concordancia de fase o fase. La onda es periódica con relación al espacio.

El movimiento tiene pues una doble periodicidad:

- La onda es periódica en el tiempo, pues repite su vibración cada tiempo $T$ .

- La onda es periódica en el espacio, pues repite su vibración cada distancia $\lambda$ .

b) Ecuación de la onda

Si observamos el avance del tren de ondas, lo primero que destacamos es que el pulso inicial, tarda un tiempo $t^*$ en alcanzar el punto $M$ , el cual permanece en reposo en tanto que otros puntos ya han sido alcanzados por la perturbación.

Ese tiempo $t^*$ es tal que $0M = x=v.t^*$ , con lo cual $t^* = \frac{x}{v}$

La ecuación de las oscilaciones del punto $M$ será igual a la del origen $O$ si a t le restamos el tiempo $t^*$ que el frente tarda en alcanzarlo. Podremos escribir:

$y_M = A \mbox { } sen ( \omega [t - t^*]) = A \mbox { } sen (\omega [t - \frac{x}{v}])$

$y_M = A \mbox { } sen ( \omega \mbox { } t - \frac {x} {V}) = A \mbox { } sen (\omega \mbox { } t - \frac {2 \pi} {T} \frac {x} {\lambda f})$

Pero $T \mbox { } f = 1$ , con lo cual, la ecuación quedará:

$y_M = A \mbox { } sen(\omega \mbox { } t - \frac{2 \pi}{ \lambda} x)$

Pero si sustituimos $\frac {2 \pi} { \lambda}$ por $k$ , la ecuación nos queda:

$y_M = A \mbox { } sen(\omega \mbox { } t - k x)$

Del mismo modo que a $\omega = \frac {2 \pi} {T}$ se le llama frecuencia angular o pulsación temporal a $k=\frac {2 \pi} {\lambda}$ la llamamos pulsación espacial. Vemos que $\omega$ representa con relación a $t$ lo mismo $k$ con relación a $x$ , como se puede ver en otra forma de escribir la ecuación

$y_M = A \mbox { } sen(\frac{2 \pi}{ T } t - \frac{2 \pi} {\lambda} x)$

La ecuación tiene en cuenta la doble periodicidad del movimiento.

Para un instante $t$ fijo, la ecuación nos indica cómo vibran las puntos del medio que se encuentren a una distancia variable x, y nos muestra que la función es periódica en el espacio.

$y_M = A \mbox { } sen (constante - \frac{2 \pi}{ \lambda} x)$

Pues puede observarse que para los puntos $x = \lambda, 2 \lambda, 3 \lambda, 4 \lambdaâ�¦= n \lambda$ con $n \in N$ , presentan la misma la misma elongación y se encuentran vibrando del mismo modo, se encuentran en concordancia de fase o en fase. Nos muestra que la función es periódica en el espacio.

Si lo que mantenemos fijo es $x$ , la ecuación nos indica cómo vibran los puntos situados a una distancia x, fija, en función del tiempo. Cada instante en el que el tiempo $t = T, 2T, 3T, â�¦= n T$ con $n \in T$ tiene la misma elongación y se encuentra vibrando de igual modo, la función es periódica en el tiempo:

$y_M = A \mbox { } sen( \frac {2 \pi} {T} t - constante)$

Si tenemos en cuenta la constante de fase que pueden presentar las oscilaciones del foco emisor, la ecuación se escribirá:

$y_M = A \mbox { } sen( \frac {2 \pi} {T} t - \frac {2 \pi} { \lambda} x + \varphi_0)$

c) Fase

La fase de una onda es una magnitud escalar y se mide en radianes. La fase es una función del tiempo y de la abcisa x.

Si la ecuación de la onda es:

$y_M = A \mbox { } sen ( \omega \mbox { } t - kx)$

La fase viene dada por:

$\varphi (x,t)= \omega \mbox { } t - k x$

Esto nos conduce a decir que todos aquellos puntos (o superficies en las ondas tridimensionales) cuya fase tenga el mismo valor $\varphi$ o $\varphi + 2n \pi$ , con n numero entero. Los puntos se encuentran en concordancia de fase (o hablaremos de superficies equifásicas)

Pero del mismo modo podremos hablar de desfase o diferencia de fase.

Siempre que, en un instante dado, el estado de vibración de un punto, por ejemplo, M, y de otro punto P sea diferente, hablaremos de un defase. La diferencia de fase nos vendrá dada por:

$\varphi_M (x,t) - \varphi_P (x,t) = (\omega \mbox { } t-k x)_M - ( \omega t-k x)_P = k (x_P - x_M )$

Casos particulares:

$x_P - x_M = n \lambda$ con $n \in N$ , los puntos se encuentran en fase o concordancia de fase.

$x_P - x_M = (2n - 1) \frac {\lambda} {2}$ los puntos se encuentran en oposición de fase.

$x_P- x_M = (2n - 1) \frac { \lambda} {4}$ los puntos se encuentran en cuadratura con $P$ en avance sobre $M \mbox { } (2n - 1) \frac { \lambda} {4}$