Ecuaciones del plano
De Wikillerato
Un plano
queda determinado cuando se conoce un punto
del mismo y dos vectores
y
no nulos y linealmente independientes que éstan contenidos en el plano, llamados
vectores directores del plano.
Existen diferentes formas de expresar la ecuación de un plano. Las describimos a continuación.
Tabla de contenidos[ocultar] |
Ecuación en forma vectorial
El plano
que contiene al punto
y tiene como vectores directores los vectores
y
es el conjunto de puntos del espacio que verifican la siguiente relación vectorial:
con
Teniendo en cuenta que
, resulta:
expresión que se conoce como ecuación vectorial del plano.
Ecuación en forma paramétrica
Desarrollando la ecuación vectorial expresada en componentes, resulta:
expresión que se conoce como ecuación en forma paramétrica.
Ecuación en forma general
Como
en el determinante
la primera columna es combinación lineal de la segunda y de la tercera. Por tanto dicho
determinante es cero. Desarrollando el determinante, agrupando términos e igualando a 0,
nos queda un ecuación de la forma :
que es la ecuación en forma general, cartesiana o implícita del
plano. (
son números reales ).
Ecuación normal
Otra forma de determinar la ecuación de un plano es conociendo un punto del mismo y un vector normal al plano.
Sea
un punto dado del plano
y sea
un vector normal a
. Entonces, para cualquier punto
del plano
, el vector
es perpendicular a
, de manera que
expresión que recibe el nombre de ecuación normal del plano. A partir de la ecuación normal del plano se puede obtener muy fácilmente su ecuación general:
donde
.
Ejemplo
Determinemos las ecuaciones del plano que contiene a los puntos:
Tanto
como
son vectores directores del plano
, de manera que
, es decir
es la ecuación vectorial del plano
. De la cual se deduce la ecuación de
en forma paramétrica:
Como
es una combinación lineal de
y de
se ha de tener que
de lo que se deduce la ecuación de
en forma general, cartesiana o implícita:
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