Funciones acotadas

De Wikillerato

Tabla de contenidos

1 Definición
2 Ejemplo
3 Definición
4 Ejemplo
5 Propiedades
6 Ejemplo
7 Ejemplo
8 Ejemplo
9 Máximos y mínimos
10 Ejemplo
11 Ejemplo
12 Máximos y mínimos absolutos de una función

Definición

Se dice que un conjunto $A$ de números reales está acotado superiormente ( inferiormente ) si existe un número real $C$ que es mayor ( menor ) o igual que todos los elementos de $A$ .

A este número real se le llama cota superior ( inferior ). Si $C$ es una cota superior del conjunto $A$ , entonces, cualquier numero mayor ( menor ) que $C$ es tambien una cota superior ( inferior ) de $A$

Ejemplo

El intervalo

$\left[ \, 2, \, 9 \, \right] \subset \mathbb{R}$

es un conjunto acotado superiormente porque

$9 \ge x, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right]$

Tambien está acotado inferiormente porque

$x \ge 2, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right]$

Definición

Una función $\mathrm{f}$ está acotada superiormente si su recorrido está acotado superiormente, es decir, si existe un número $C$ tal que

$C \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x$ en el dominio de $\mathrm{f}$

Análogamente, $\mathrm{f}$ está acotada inferiormente si su recorrido está acotado inferiormente, es decir, si existe un número $c$ tal que

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge c, \, \forall x$ en el dominio de $\mathrm{f}$

Una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente.

Ejemplo

El recorrido de la función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)$ es el intervalo cerrado $\left[ \, -1, \, 1 \, \right]$ . Como este intervalo está acotado, tanto superior como inferiormente, la función $\mathrm{f}$ está acotada tanto superior como inferiormente, es decir, la función $</p> <pre>\mathrm{f} </pre> <p>$ está acotada.

Propiedades

Propiedad 1

En la gráfica de $f$ , el que $f$ esté acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que existe una linea horizontal ( paralela al eje $X$ ), tal que ningun punto de la gráfica se encuentra por encima ( debajo ) de dicha recta.

Propiedad 2

Una función $\mathrm{f}$ con una asíntota vertical no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente.

Mas concretamente:

Si existe un número real

$a$ , tal que $\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty$ o $\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty$ , entonces $\mathrm{f}$ no está acotada superiormente.

Recíprocamente, si existe un número real

$a$ , tal que $\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty$ o $\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty$ , entonces $\mathrm{f}$ no está acotada inferiormente.

Propiedad 3

Si $\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty$ o $\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty$ , entonces $\mathrm{f}$ NO está acotada superiormente.

Si $\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty$ o $\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty$ , entonces $\mathrm{f}$ NO está acotada inferiormente.

Ejemplo

La función

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \frac{1}{x}$

tiene una asíntota vertical de ecuación $x = 0$ . Por lo tanto, la función $\mathrm{f}$ no está acotada.

Para averiguar si está acotada superior o inferiormente, calculamos cada uno de los siguientes limites laterales:

$\lim_{x \to 0^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

$\lim_{x \to 0^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

El primero es $-\infty$ y el segundo es $\infty$ . Por lo tanto, $\mathrm{f}$ no está acotada ni superior, ni inferiormente.

Ejemplo

$\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$

Por lo tanto, $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2$ no está acotada superiormente.

Ejemplo

Máximos y mínimos

Un conjunto de números reales acotado superiormente $A$ tiene máximo si la menor de las cotas superiores de $A$ pertenece a $A$ . El máximo de $A$ sería, de existir, la menor de las cotas superiores de $A$ .

Ejemplo

El intervalo $\left( \, -\infty, \, 2 \, \right)$ está acotado superiormente, pero no tiene máximo, ya que la mayor de las cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo.

Ejemplo

El intervalo $\left( \, -\infty, \, 2 \, \right]$ está acotado superiormente y tiene máximo, ya que la mayor de las cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo.

Máximos y mínimos absolutos de una función

Una función $\mathrm{f}$ se dice que alcanza el valor máximo en $x_M$ y que dicho valor máximo es $\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right)$ , si

$\mathrm{f} \left( \, x_M \, \right) \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x$ en el dominio de $\mathrm{f}$

Recíprocamente, $\mathrm{f}$ alcanza su valor mínimo en $x_m$ y su valor mínimo es $\mathrm{f} \left( \, x_m \, \right)$ , si

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge \mathrm{f} \left( \, x_m \, \right), \, \forall x$ en el dominio de $\mathrm{f}$

Por lo tanto el valor máximo ( mínimo ) que alcanza una función es el máximo ( mínimo ) de su recorrido.

Si cuando

$y_2 > y_1$

decimos que el "punto $\left( \, x_2, \, y_2 \, \right)$ está mas alto que el punto $\left( \, x_1, \, y_1 \, \right)$ ", entonces el máximo absoluto de $\mathrm{f}$ correspondería al punto mas "alto" de su gráfica y el mínimo absoluto de $\mathrm{f}$ correspondería al punto mas "bajo" de su gráfica.