Procedimiento para factorizar un polinomio

De Wikillerato

1. Sacamos $x$ factor común, si ello es posible, y tantas veces como se pueda.

2. Si el polinomio $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ es de grado dos:

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c$

resolvemos la ecuación

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c = 0$

Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ es irreducible, pero si la ecuación anterior tiene soluciones $r_1$ y $r_2$ , entonces podemos factorizar $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ de la siguiente manera:

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a \cdot \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot \left( \, x - r_2 \, \right)$

Puede ocurrir que $r_1$ y $r_2$ coincidan ( sean iguales ).

3. Si el polinomio

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot x + a_0$

• es de grado mayor que dos y

• sus coeficientes son enteros,

intentamos encontrar las raices reales del polinomio $\mathrm{P}$ entre los números racionales de la forma $\frac{a}{b}$ donde $a$ es un divisor de $a_n$ y $b$ es un divisor de $a_0$ , utilizando para ello la regla de Ruffini con cada una de estas fracciones y con el polinomio $\mathrm{P}$ .

   si y solo si     es divisor de   .

Así, si llegado a un cierto punto en el proceso de factorización hemos encontrado raices $r_1, r_2, \ldots r_n$ del polinomio $\mathrm{P}$ , entonces existe un polinomio $\mathrm{Q}$ tal que

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot \left( \, x - r_2 \, \right) \cdot \ldots \cdot \left( \, x - r_n \, \right) \cdot \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)$

e intentariamos descomponer mas $\mathrm{P}$ factorizando $\mathrm{Q}$ .

Ejemplo

Factorizemos el polinomio:

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x$

Como se puede sacar un $x$ factor común, eso es lo primero que hacemos:

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x = x \cdot \left( \, 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 \, \right)$

A continuación factorizamos

$\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12$

Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos y con coeficiente enteros, utilizamos la regla de Ruffini con este polinomio y con las fracciones de la forma $\frac{a}{b}$ , donde $a$ es un divisor de $a_0 = -12$ y $b$ es un divisor de $a_3 = 2$ . Utilizando la regla de Ruffini con estas fracciones encontramos que 3 es una raiz de $\mathrm{Q} \left( \, x \, \right)$ , es decir, $\mathrm{Q} \left( \, 3 \, \right) = 0$ , y que

$2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 = \left( \, x - 3 \, \right) \cdot \left( </p> <pre> \, 2x^2 - 6x + 4 \, </pre> <p>\right)$

Finalmente, factorizamos el polinomio

$2x^2 - 6x + 4$

resolviendo la ecuación

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

cuyas soluciones son 2 y 1, de manera que

$2x^2 - 6x + 4 = 2 \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)$

y, por tanto

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, </p> <pre> x - 2 \, \right) \cdot \left( \, x - 3 \, \right) </pre> <p>$