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==Introducción==

Muchas de las funciones elementales que se ven en bachillerato son [[Continuidad de una función|continuas]] en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.

Las  funciones elementales  son aquellas  que se  utilizan para  construir otras
funciones  mediante  las  operaciones  con  funciones:  suma,  resta,  división,
multiplicación, composición, etc.

Son funciones elementales los polinomios, las funciones exponenciales &nbsp;
<math>
\left( \, a^x, \, a > 0 \right)
</math>
&nbsp; , el coseno, el seno, etc.

Si una función 
<math>
\mathrm{f}
</math>
es continua en &nbsp;
<math>
x_0 \in \mathbb{R}
</math>,
&nbsp; el limite de 
<math>
\mathrm{f}
</math>
cuando 
<math>
x
</math>
tiende a &nbsp;
<math>
x_0 
</math>
&nbsp; se puede calcular simplemente evaluando 
<math>
\mathrm{f}
</math>
en &nbsp;
<math>
x_0
</math>.



===Ejemplo 0===



Como &nbsp;
<math>
\mathrm{f}\left( \, x \, \right) = x^2
</math>
&nbsp; es una función continua en todo 
<math>
\mathbb{R}
</math>
se tiene que 
<center>
<math>
\lim_{x \to  5} \mathrm{f} \left( \,  x \, \right)  = \mathrm{f} \left( \,  5 \,
\right) = 25
</math>
</center>



==Indeterminación del tipo 0/0==

En muchos casos, el limite se calcula utilizando las [[Propiedades de los límites|propiedades de los limites]]. 

Por ejemplo, si existen los limites
<center>
<math>
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right), \,
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right) 
</math>
</center>
y
<center>
<math>
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right) \neq 0
</math>
</center>
entonces se puede calcular el límite 
<center>
<math>
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
    \, \right)} 
</math>
</center>
dividiendo &nbsp;
<math>
 \lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \, \right) 
</math>
&nbsp; entre &nbsp;
<math>
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
</math>:

<center>
<math>
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
    \, \right)} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \,
  \right)}{\displaystyle \lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
</math>
</center>
¿Pero que sucede cuando
<math>
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = 0
</math>?

<br/>

Pueden darse dos casos:

<br/>

#1.  &nbsp; <math> \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \neq 0 </math>, &nbsp; o bien

<br/>

#2. &nbsp; <math> \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0 </math>.

<br/>

En este último caso, de existir el limite
<center>
<math>
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}
</math>
</center>
se ha de calcular de otra manera.

<br/>

===Procedimiento 1===

<br/>

Si <math>
\mathrm{f}
</math>
y
<math>
\mathrm{g}
</math>
son polinomios, entonces se puede dividir ambos por &nbsp;
<math>
x - x_0
</math>,
cuantas veces sea posible.

<br/>

===Ejemplo 1===

<br/>

Calculemos el limite
<center>
<math>
\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)} 
</math>
</center>
con 
<center>
<math>
\left\{
  \begin{array}{l}
    \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3 - x^2 - x + 1
    \\
    \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - 3x + 2
  \end{array}
\right.
</math>
</center>
Ambos polinomios, 
<math>
\mathrm{f}
</math>
y 
<math>
\mathrm{g}
</math>,
se anulan en &nbsp;
<math>
x = 1
</math>,
&nbsp; por lo tanto ambos son divisibles por &nbsp;
<math>
x - 1
</math>.

<br/>

Si dividimos 
<math>
\mathrm{f}
</math>
y
<math>
\mathrm{g}
</math>
por &nbsp;
<math>
x - 1
</math>
&nbsp;
una vez y luego otra, nos queda que
<center>
<math>
\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
    \, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2} =
\lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x + 2} =
\frac{\displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \, x + 1 \, \right)}
{\displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \, x + 2 \, \right)} = 
\frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3} 
</math>
</center>

Todas esas divisiones se puede hacer por la [[Regla de Ruffini|regla de Ruffini]].

<br/>



===Ejemplo 2===

<br/>

Calculemos
<center>
<math>
\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}
</math>
</center>
Como la funcion seno y la funcion identidad &nbsp;
<math>
\left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x \, \right)
</math>
&nbsp; son funciones continuas, lo primero que hacemos es sustituir &nbsp;
<math>
x
</math>
&nbsp; por cero en 
<center>
<math>
\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}
</math>
</center>
con lo que obtenemos la indeterminación &nbsp;
<math>
\frac{0}{0}
</math>.

<br/>

Esto NO significa que el limite NO  exista, de hecho si derivamos el numerador y
el denominador en &nbsp;
<math>
\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}
</math>
&nbsp; obtenemos &nbsp;
<math>
\frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1}
</math>
&nbsp; que cuando 
<math>
x
</math>
tiende a 
<math>
0
</math>
tiende a 1.

<br/>

Por lo tanto, por la regla de L'Hôpital
<center>
<math>
\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x} =
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} = 1
</math>
</center>

El ultimo límite se calcula teniendo en cuenta que la función coseno es continua
<center>
<math>
\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} =
\frac{\cos \left( \, 0 \, \right)}{1} = 1
</math>
</center>

<br/>

===Ejemplo 3===

<br/>

Calculemos  el  limite  del  ejemplo  1  utilizando  la  regla  de  L'Hôpital  y
comprobemos  que  el  resultado  es   el  mismo  que  obtuvimos  utilizando  el
procedimiento 1.
<center>
<math>
\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)} =
\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)}
{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} = 
\lim_{x \to 1} \frac{2x}{2x + 1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{2}{3}
</math>
</center>

<br/>

==Indeterminación del tipo infinito/infinito==

<br/>

Supongamos que queremos calcular el limite de

<center>
<math>
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
    \, \right)} 
</math>
</center>

y que &nbsp;
<math>
    \lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)} = \infty 
</math>.

<br/>

Puede darse dos casos, o bien:

<br/>

#1.  &nbsp; <math> \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \in \mathbb{R} </math>, &nbsp; o bien

<br/>

#2.  &nbsp; <math> \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty </math>.

<br/>

En el primer caso 
<math>
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left(  \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x
    \, \right)} = 0
</math>.

<br/>

En este segundo caso se dice que se tiene una indeterminación del tipo &nbsp;
<math>
\frac{\infty}{\infty}
</math>.

<br/>

Veamos a continuación diferentes metodos de calcular limites cuando
se llega a una indeterminacion del tipo  &nbsp;
<math>
\frac{\infty}{\infty}
</math>.

<br/>

Con  este  tipo de  indeterminaciones  tambien se  puede  utilizar  la regla 
[[Indeterminaciones#Procedimiento 2|regla de L'Hôpital]].

<br/>

===Procedimiento 3===

<br/>

Si <math>
\mathrm{f}
</math>
y
<math>
\mathrm{g}
</math>
son polinomios y &nbsp;
<math>
x_0
</math>
&nbsp; es mas o menos infinito, se puede proceder de la siguiente manera:

<br/>

#1. se divide ambos polinomios por la mayor potencia de <math> x </math> en el denominador y el numerador ( <math> x </math> elevado al mayor de los grados de ambos polinomios )

<br/>

#2. se simplifican las fracciones de potencias de <math> x </math>, y

<br/>

#3. se hace tender <math> x </math> a <math> \infty </math>.

<br/>

===Ejemplo 4===

<br/>

<center>
<math>
\lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1} =
\lim_{x  \to \infty }  \frac{\frac{x^2}{x^3} -  \frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} +
  \frac{x}{x^3} + \frac{1}{x^3}} =
\lim_{x \to \infty } \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}{1 +
  \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = 
</math>
</center>
<center>
<math>
 = \frac{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \, \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}
     \, \right)}{\displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( \, 1 +
  \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \, \right)} = \frac{0 + 0}{1 + 0 + 0} = 0
</math>
</center>

Observese que tanto el denominador como el numerador de 
<center>
<math>
\frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1}
</math>
</center>
tienden a 
<math>
\infty 
</math>
cuando 
<math>
x
</math>
tiende a 
<math>
\infty
</math>.

<br/>

Calculemos de nuevo el mismo limite utilizando la regla de L'Hôpital
<center>
<math>
\lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1} =
\lim_{x \to \infty } \frac{2x}{3x^2 + 1}} = \lim_{x \to \infty } \frac{2}{6x} = 0
</math>
</center>

<br/>

==Indeterminación del tipo 0 por infinito==

<br/>

Este tipo de  indeterminaciones se tranforman en indeterminaciones  de alguno de
los  dos tipos vistos  anteriormente ([[Indeterminaciones#Indeterminaciones  del tipo  0/0|0/0]] y
[[Indeterminaciones#Indeterminaciones del tipo infinito/infinito|infinito/infinito]]).

Si &nbsp; 
<math>
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0
</math>
&nbsp; 
y
&nbsp; 
<math>
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = \infty 
</math>,
&nbsp; entonces el limite 
<center>
<math>
\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \,  x \, \right) \cdot \mathrm{f} \left( \, x \, \right) 
</math>
</center>
se puede reescribir de la siguiente manera:
<center>
<math>
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{g} \left( \,  x \, \right)}{\frac{1}{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}} 
</math>
</center>
con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo &nbsp;
<math>
\frac{\infty}{\infty}
</math>
dado que 
<center>
<math>
\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)} = \infty 
</math>
</center>


<br/>

Alternativamente el limite
<center>
<math>
\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0
</math>
</center>
se puede poner como
<center>
<math>
\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \,  x \, \right)}{\frac{1}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)}} 
</math>
</center>
con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo &nbsp;
<math>
\frac{0}{0}
</math>
dado que
<center>
<math>
\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} = 0
</math>
</center>

<br/>

[[Categoría:Matemáticas]]
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