Indeterminaciones
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Introducción
Muchas de las funciones elementales que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.
Las funciones elementales son aquellas que se utilizan para construir otras funciones mediante las operaciones con funciones: suma, resta, división, multiplicación, composición, etc.
Son funciones elementales los polinomios, las funciones exponenciales
, el coseno, el seno, etc.
Si una función
es continua en
,
el limite de
cuando
tiende a
se puede calcular simplemente evaluando
en
.
Ejemplo 0
Como
es una función continua en todo
se tiene que
Indeterminación del tipo 0/0
En muchos casos, el limite se calcula utilizando las propiedades de los limites.
Por ejemplo, si existen los limites
y
entonces se puede calcular el límite
dividiendo
entre
:
¿Pero que sucede cuando
?
Pueden darse dos casos:
- 1.
, o bien
- 2.
.
En este último caso, de existir el limite
se ha de calcular de otra manera.
Procedimiento 1
Si
y
son polinomios, entonces se puede dividir ambos por
,
cuantas veces sea posible.
Ejemplo 1
Calculemos el limite
con
Ambos polinomios,
y
,
se anulan en
,
por lo tanto ambos son divisibles por
.
Si dividimos
y
por
una vez y luego otra, nos queda que
Todas esas divisiones se puede hacer por la regla de Ruffini.
Procedimiento 2
Tanto si
y
son polinomios, como si no lo son, se puede utilizar la regla de L'Hôpital:
Si existe
ya sea
real, infinito o menos infinito, entonces
donde
y
son las derivadas de
y
.
Ejemplo 2
Calculemos
Como la funcion seno y la funcion identidad
son funciones continuas, lo primero que hacemos es sustituir
por cero en
con lo que obtenemos la indeterminación
.
Esto NO significa que el limite NO exista, de hecho si derivamos el numerador y
el denominador en
obtenemos
que cuando
tiende a
tiende a 1.
Por lo tanto, por la regla de L'Hôpital
El ultimo límite se calcula teniendo en cuenta que la función coseno es continua
Ejemplo 3
Calculemos el limite del ejemplo 1 utilizando la regla de L'Hôpital y comprobemos que el resultado es el mismo que obtuvimos utilizando el procedimiento 1.
Indeterminación del tipo infinito/infinito
Supongamos que queremos calcular el limite de
y que
.
Puede darse dos casos, o bien:
- 1.
, o bien
- 2.
.
En el primer caso
.
En este segundo caso se dice que se tiene una indeterminación del tipo
.
Veamos a continuación diferentes metodos de calcular limites cuando
se llega a una indeterminacion del tipo
.
Con este tipo de indeterminaciones tambien se puede utilizar la regla regla de L'Hôpital.
Procedimiento 3
Si
y
son polinomios y
es mas o menos infinito, se puede proceder de la siguiente manera:
- 1. se divide ambos polinomios por la mayor potencia de
en el denominador y el numerador (
elevado al mayor de los grados de ambos polinomios )
- 2. se simplifican las fracciones de potencias de
, y
- 3. se hace tender
a
.
Ejemplo 4
Observese que tanto el denominador como el numerador de
tienden a
cuando
tiende a
.
Calculemos de nuevo el mismo limite utilizando la regla de L'Hôpital
Indeterminación del tipo 0 por infinito
Este tipo de indeterminaciones se tranforman en indeterminaciones de alguno de los dos tipos vistos anteriormente (0/0 y infinito/infinito).
Si
y
,
entonces el limite
se puede reescribir de la siguiente manera:
con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo
dado que
Alternativamente el limite
se puede poner como
con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo
dado que
