La derivada como una tasa de variación instantánea

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 21:11 9 feb 2009

Tasa de variación media

Supongamos que un coche de formula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:

En este caso, la posición, $y$ , se puede ver como una función, $\mathrm{f}$ , del tiempo, $x$ ; es decir:

$y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante $9$ al instante $13.4$ es:

$\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \, <pre> \right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5 </pre> $

En general, la tasa de variación media de la función $\mathrm{f}$ en $\left[ <pre> \, a, \, b \, </pre> \right]$ se define como el cociente:

$\frac{\mathrm{f} \left( \, b \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a \, <pre> \right)}{b \, - \, a} </pre> $

Tasa de variación instantánea

La tasa de variación instantánea de la función $f$ en el punto $x \, = \, a$ se obtiene haciendo tender $b$ a $a$ en la tasa de variación media de la función $f$ en el intervalo $\left[ <pre> \, a, \, b \, </pre> \right]$ ; por tanto, la tasa de variación instantánea de la función $f$ en el punto $x \, = \, a$ es

$\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}$

que es precisamente la derivada de la función $f$ en el punto $x \, = \, a$ . De aquí los conceptos de Velocidad Media y Velocidad Instantánea, respectivamente, en Fisica.

NOTA: En el límite anterior $b \, = \, a \, + \, h$ .