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Procedimiento para factorizar un polinomio

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Revisión de 14:03 28 dic 2010


Tabla de contenidos

Factorización de polinomios


Por factorización de un polinomio se entiende su descomposición en forma de producto de polinomios irreducibles.


Ejemplo


Una descomposición del polinomio  x^3 - 1   en producto de polinomios irreducibles es

x^3 - 1 = \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)

Otra posible descomposición del polinomio   x^3 - 1   en producto de polinomios irreducibles es

x^3 - 1 = \left( \, 2x - 2 \, \right) \cdot \left( \, \frac{1}{2} x^2 + </p> <pre> \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \, \right) </pre> <p>

De hecho, hay infinitas descomposiciones posibles. Para cualquier número real a distinto de 0, se tiene que

x^3 - 1 = \left( \, ax - a \, \right) \cdot \left( \, \frac{1}{a} x^2 + </p> <pre> \frac{1}{a} x + \frac{1}{a} \, \right) </pre> <p>


Simplificación de fracciones algebraicas


Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios. Para simplificar una fracción algebraica se divide los polinomios en el numerador y en el denominador por su maximo común divisor. Para encontrar el maximo común divisor de ambos polinomios se ha de factorizar previamente ambos. El proceso es analogo al que se seguiria en el caso de calcular el maximo común divisor de dos números naturales.


En el proceso de descomposición de ambos polinomios es conveniente que los polinomios irreducibles de la descomposición se elijan de manera que si   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   es un polinomio irreducible de grado n obtenido en la factorización de un polinomio, entonces el coeficiente que multiplica a   x^n   en   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   sea 1.


De esta manera se identifica mejor que polinomios irreducibles son divisores comunes de ambos polinomios ( el polinomio del numerador y el polinomio del denominador ).


Ejemplo


\frac{x^3 + x^2 + x}{x^2 - x} = \frac{x \cdot \left( \, x^2 + x + 1 \, \right)}{x </p> <pre> \cdot \left( \, x - 1 \, \right)} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} </pre> <p>

El maximo común divisor de los polinomios en el denominador y en el numerador es, en este caso, x .



Procedimiento para factorizar un polinomio


1. Sacamos x factor común, si ello es posible, y tantas veces como se pueda.


2. Si el polinomio   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   es de grado dos:

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c

resolvemos la ecuación

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c = 0

Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   es irreducible, pero si la ecuación anterior tiene soluciones   r_1   y   r_2 ,   entonces podemos factorizar   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   de la siguiente manera:

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a \cdot \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot \left( \, x - r_2 \, \right)

Puede ocurrir que   r_1   y   r_2   coincidan ( sean iguales ).


3. Si el polinomio

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot x + a_0


• es de grado mayor que dos


• sus coeficientes son enteros, y


• \frac{a_0}{a_n} es un número entero


intentamos encontrar las raices reales del polinomio \mathrm{P} utilizando la regla de Ruffini con cada uno de los divisores de   \frac{a_0}{a_n}   y con el polinomio \mathrm{P} . 


 \mathrm{P} \left( \, a \, \right) = 0    si y solo si   x - a    es divisor de    \mathrm{P} \left( \, x   \, \right) .


Así, si llegado a un cierto punto en el proceso de factorización hemos encontrado racies   r_1, r_2, \ldots r_n   del polinomio \mathrm{P} , entonces existe un polinomio \mathrm{Q} tal que

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot \left( \, x - r_2 \, \right) \cdot \ldots \cdot \left( \, x - r_n \, \right) \cdot \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)


e intentariamos descomponer mas \mathrm{P} factorizando \mathrm{Q} .


Ejemplo


Factorizemos el polinomio:

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x

Como se puede sacar un x factor común, eso es lo primero que hacemos:

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x = x \cdot \left( \, 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 \, \right)

A continuación factorizamos

\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12

Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos y con coeficiente enteros, utilizamos la regla de Ruffini con este polinomio y con los divisores de   \frac{-12}{2} = -6 :

1, \, -1, \, 2, \, -2, \, 3, \, -3, \, 4, \, -4, \, 6, \, -6, \, 12, \, -12

encontrando que 3 es una raiz de   \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) ,   es decir,   \mathrm{Q} \left( \, 3 \, \right) = 0 ,   y que

2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 = \left( \, x - 3 \, \right) \cdot \left( </p> <pre> \, 2x^2 - 6x + 4 \, </pre> <p>\right)

Finalmente, factorizamos el polinomio

2x^2 - 6x + 4

resolviendo la ecuación

2x^2 - 6x + 4 = 0

cuyas soluciones son 2 y 1, de manera que

2x^2 - 6x + 4 = 2 \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)

y, por tanto

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, </p> <pre> x - 2 \, \right) \cdot \left( \, x - 3 \, \right) </pre> <p>

Obtenido de "http://wikillerato.org/Procedimiento_para_factorizar_un_polinomio.html"
   
 
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