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Definición de derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (10:29 2 ene 2011) (editar) (deshacer)
 
(10 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 7: Línea 7:
x \, = \, a
x \, = \, a
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, &nbsp;
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, si existe, es el valor del limite:
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\mathrm{f}^\prime
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\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
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\left(
+
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\, a \,
+
-
\right)
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\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
+
\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
</math>.
</math>.
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Si &nbsp;
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Si este limite es un número real, la función &nbsp;
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\mathrm{f}^\prime
+
\mathrm{f}
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\left(
+
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\, a \,
+
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\right)
+
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&nbsp; es un número real, la función &nbsp;
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&nbsp; es '''''derivable''''' en &nbsp;
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x \, = \, a
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</math>.
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Si el límite anterior no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
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\mathrm{f}
\mathrm{f}
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-
&nbsp; es derivable en &nbsp;
+
&nbsp; NO es derivable en &nbsp;
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-
x \, = \, a
+
x = a
</math>.
</math>.
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Si &nbsp;
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La derivada de la función
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\mathrm{f}
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en &nbsp;
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x = a
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&nbsp; se denota por &nbsp;
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\mathrm{f}^\prime
\mathrm{f}^\prime
\left(
\left(
-
\, a \,
+
\, a \,
\right)
\right)
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+
</math>.
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&nbsp; no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
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\mathrm{f}
+
\mathrm{f}^\prime
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+
\left(
-
&nbsp; no es derivable en dicho punto.
+
\, a \,
 +
\right)
 +
= \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
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</math>.
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==Ejemplo==
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==Ejemplo 1==
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Línea 91: Línea 112:
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==Ejemplo 2==
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La función &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left| \, x \, \right|
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&nbsp; NO es derivable en &nbsp;
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x = 0
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&nbsp; ya que no existe el limite
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\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h}
 +
</math>
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</center>
 +
No existe por que
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<center>
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<math>
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\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}
 +
</math>
 +
</center>
 +
y por que
 +
<center>
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\lim_{h \to 0^-} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} = -1 \neq 1 =
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\lim_{h \to 0^+} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}
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es decir, los dos limites laterales son distintos.
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[[Category:Matemáticas]]
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Revisión actual

La derivada de la función   \mathrm{f}   en el punto   x \, = \, a , si existe, es el valor del limite:


\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> <p>.


Si este limite es un número real, la función   \mathrm{f}   es derivable en   x \, = \, a . Si el límite anterior no es un número real o el límite no existe, la función   \mathrm{f}   NO es derivable en   x = a .


La derivada de la función \mathrm{f} en   x = a   se denota por   \mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, a \, </pre> <p>\right) .


\mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, a \, </pre> <p>\right) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> <p>.


Ejemplo 1


Calculemos la derivada de   \mathrm{f} \left( </p> <pre> \, x \, </pre> <p>\right) \, = \, x^2   en   x \, = \, 2 :


\mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, 2 \, </pre> <p>\right) \, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac </pre> <p>{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,


\, = \, \lim_{h \to 0} \frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \left( </p> <pre> \, h \, + 4 \, \, \right) \, = \, 4 </pre> <p>


Ejemplo 2


La función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left| \, x \, \right|   NO es derivable en   x = 0   ya que no existe el limite

\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} </pre> <p>

No existe por que

\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} </pre> <p>

y por que

\lim_{h \to 0^-} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} = -1 \neq 1 = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}


es decir, los dos limites laterales son distintos.


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