Patrocinado por PHPDocX

Síguenos en Twitter

Buscar en WikilleratO
   

La derivada como una tasa de variación instantánea

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (10:55 2 ene 2011) (editar) (deshacer)
 
(14 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 3: Línea 3:
<br/>
<br/>
-
Supongamos que un coche formula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A
+
Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A
distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la
distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la
siguiente tabla:
siguiente tabla:
Línea 19: Línea 19:
y
y
</math>
</math>
-
, se puede ver como una función, &nbsp;
+
, se puede ver como una función,
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
Línea 26: Línea 26:
<math>
<math>
x
x
-
</math>. Es decir:
+
</math>; es decir:
<br/>
<br/>
Línea 54: Línea 54:
<math>
<math>
\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \,
\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \,
-
\right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{}{4.4}
+
\right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 60: Línea 60:
<br/>
<br/>
-
En general, la tasa de variación media de la función &nbsp;
+
En general, la tasa de variación media de la función
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; en &nbsp;
+
en el periodo que va desde el instante &nbsp;
<math>
<math>
-
\left[
+
t_1
-
\, a, \, b \,
+
</math>
-
\right]
+
&nbsp; hasta el instante &nbsp;
 +
<math>
 +
t_2
</math>
</math>
&nbsp; se define como el cociente:
&nbsp; se define como el cociente:
Línea 76: Línea 78:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\frac{\mathrm{f} \left( \, b \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a \,
+
\frac{\mathrm{f} \left( \, t_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, t_1 \,
-
\right)}{b \, - \, a}
+
\right)}{t_2 \, - \, t_1}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 87: Línea 89:
<br/>
<br/>
-
La '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
+
La '''''tasa de variación instantánea''''' de la función
<math>
<math>
-
f
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
+
en el instante &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
x \, = \, t_1
</math>
</math>
&nbsp; se obtiene haciendo tender &nbsp;
&nbsp; se obtiene haciendo tender &nbsp;
<math>
<math>
-
b
+
t_2
</math>
</math>
&nbsp; a &nbsp;
&nbsp; a &nbsp;
<math>
<math>
-
a
+
t_1
</math>
</math>
-
&nbsp; en la '''''tasa de variación media'''' de la función &nbsp;
+
&nbsp; en la tasa de variación media de la función
<math>
<math>
-
f
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; en el intervalo &nbsp;
+
en el periodo &nbsp;
<math>
<math>
\left[
\left[
-
\, a, \, b \,
+
\, t_1, \, t_2 \,
-
\right]
+
\right].
-
</math>.
+
</math>. Por tanto, la tasa de variación instantánea de la función
-
Por tanto, la '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
+
<math>
<math>
-
f
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
+
en el instante &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
x \, = \, t_1
</math>
</math>
&nbsp; es
&nbsp; es
Línea 127: Línea 128:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\lim_{h \to 0}\frac{\mathbf{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathbf{f}\left( \, a \, \right)}{h}
+
\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, t_1 \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, t_1 \, \right)}{h}
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 133: Línea 134:
<br/>
<br/>
-
que es precisamente la derivada de la función &nbsp;
+
que es precisamente la [[Definición de derivada|derivada]] de la función
<math>
<math>
-
f
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
+
en el instante &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
x \, = \, t_1
</math>.
</math>.
 +
 +
<br/>
 +
 +
NOTA: En el límite anterior &nbsp;
 +
<math>
 +
t_2 \, = \, t_1 \, + \, h
 +
</math>.
 +
 +
<br/>
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Tasa de variación media


Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:


Imagen:tabla7.png


En este caso, la posición,   y , se puede ver como una función, \mathrm{f} , del tiempo,   x ; es decir:


y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)


La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante   9   al instante   13.4   es:


\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \, </p> <pre> \right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5 </pre> <p>


En general, la tasa de variación media de la función \mathrm{f} en el periodo que va desde el instante   t_1   hasta el instante   t_2   se define como el cociente:


\frac{\mathrm{f} \left( \, t_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, t_1 \, </p> <pre> \right)}{t_2 \, - \, t_1} </pre> <p>


Tasa de variación instantánea


La tasa de variación instantánea de la función \mathrm{f} en el instante   x \, = \, t_1   se obtiene haciendo tender   t_2   a   t_1   en la tasa de variación media de la función \mathrm{f} en el periodo   \left[ </p> <pre> \, t_1, \, t_2 \, </pre> <p>\right]. . Por tanto, la tasa de variación instantánea de la función \mathrm{f} en el instante   x \, = \, t_1   es


\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, t_1 \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, t_1 \, \right)}{h}


que es precisamente la derivada de la función \mathrm{f} en el instante   x \, = \, t_1 .


NOTA: En el límite anterior   t_2 \, = \, t_1 \, + \, h .


Obtenido de "http://wikillerato.org/La_derivada_como_una_tasa_de_variaci%C3%B3n_instant%C3%A1nea.html"
   
 
ASIGNATURAS
 MatemáticasFísicaQuímicaBiologíaDibujoHistoriaLengua y LiteraturaHistoria del ArteFilosofía
Creative Commons License
Los contenidos de Wikillerato están disponibles bajo una licencia de Creative Commons.
Pueden utilizarse y redistribuirse libremente siempre que se reconozca su procedencia.