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La derivada como una tasa de variación instantánea

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Supongamos que un coche de formula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A
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Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A
distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la
distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la
siguiente tabla:
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y
y
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, se puede ver como una función, &nbsp;
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, se puede ver como una función,
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\mathrm{f}
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x
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\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \,
\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \,
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\right)}{6.7 \, - \, 4.5} \, = \, 2
+
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En general, la tasa de variación media de la función &nbsp;
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En general, la tasa de variación media de la función
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\mathrm{f}
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&nbsp; en &nbsp;
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en el periodo que va desde el instante &nbsp;
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t_1
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+
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\right]
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t_2
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&nbsp; se define como el cociente:
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\frac{\mathrm{f} \left( \, b \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a \,
+
\frac{\mathrm{f} \left( \, t_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, t_1 \,
-
\right)}{b \, - \, a}
+
\right)}{t_2 \, - \, t_1}
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La '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
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La '''''tasa de variación instantánea''''' de la función
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f
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en el instante &nbsp;
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x \, = \, a
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x \, = \, t_1
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&nbsp; se obtiene haciendo tender &nbsp;
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t_2
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&nbsp; a &nbsp;
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a
+
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&nbsp; en la tasa de variación media de la función
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\left[
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</math>. Por tanto, la tasa de variación instantánea de la función
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f
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&nbsp; en el punto &nbsp;
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en el instante &nbsp;
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x \, = \, a
+
x \, = \, t_1
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&nbsp; es
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\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}
+
\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, t_1 \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, t_1 \, \right)}{h}
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que es precisamente la derivada de la función &nbsp;
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NOTA: En el límite anterior &nbsp;
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x \, = \, a
+
t_2 \, = \, t_1 \, + \, h
</math>.
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Revisión actual

Tasa de variación media


Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:


Imagen:tabla7.png


En este caso, la posición,   y , se puede ver como una función, \mathrm{f} , del tiempo,   x ; es decir:


y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)


La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante   9   al instante   13.4   es:


\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \, </p> <pre> \right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5 </pre> <p>


En general, la tasa de variación media de la función \mathrm{f} en el periodo que va desde el instante   t_1   hasta el instante   t_2   se define como el cociente:


\frac{\mathrm{f} \left( \, t_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, t_1 \, </p> <pre> \right)}{t_2 \, - \, t_1} </pre> <p>


Tasa de variación instantánea


La tasa de variación instantánea de la función \mathrm{f} en el instante   x \, = \, t_1   se obtiene haciendo tender   t_2   a   t_1   en la tasa de variación media de la función \mathrm{f} en el periodo   \left[ </p> <pre> \, t_1, \, t_2 \, </pre> <p>\right]. . Por tanto, la tasa de variación instantánea de la función \mathrm{f} en el instante   x \, = \, t_1   es


\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, t_1 \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, t_1 \, \right)}{h}


que es precisamente la derivada de la función \mathrm{f} en el instante   x \, = \, t_1 .


NOTA: En el límite anterior   t_2 \, = \, t_1 \, + \, h .


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