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Significado geométrico de la derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (10:38 3 ene 2011) (editar) (deshacer)
 
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Línea 22: Línea 22:
A
A
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</math>
-
&nbsp; y que cuando &nbsp;
+
&nbsp; y que podemos elegir &nbsp;
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n \to \infty
+
A_n
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+
&nbsp; tan cercano como queramos a <math>
 +
A
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 +
haciendo
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+
n
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+
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 +
lo suficientemente grande
 +
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\left( \, A_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} A \, \right).
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La recta que pasa por los puntos &nbsp;
+
La recta &nbsp;
 +
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s_n
 +
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&nbsp; que pasa por los puntos
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&nbsp; y &nbsp;
+
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A_n
A_n
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&nbsp; es una secante a la grafica de la función &nbsp;
+
&nbsp; es una secante a la grafica de la función
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<math>
\mathrm{f}
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-
</math>. De esta forma, hay una secante para cada punto &nbsp;
+
</math>. Así, para cada &nbsp;
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-
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+
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-
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+
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&nbsp; la recta que pasa por &nbsp;
+
&nbsp; existe una secante que pasa por &nbsp;
-
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&nbsp; y por &nbsp;
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A_n
A_n
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.
+
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Línea 69: Línea 72:
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Cuando &nbsp;
+
Cuando
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n
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&nbsp; tiende a &nbsp;
+
tiende a &nbsp;
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\infty
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Línea 81: Línea 84:
s_n
s_n
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-
&nbsp; tiende a la tangente a la grafica de la función &nbsp;
+
&nbsp; tiende a la tangente a la grafica de la función
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\mathrm{f}
\mathrm{f}
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+
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A
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t
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s_n \to t
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Línea 107: Línea 102:
s_n
s_n
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&nbsp; tienda a la pendiente de &nbsp;
+
&nbsp; tienda a la pendiente de la tangente
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t
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cuando
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Línea 157: Línea 152:
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A_x
A_x
-
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+
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 +
&nbsp; Es decir, la pendiente de
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t
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</math>
-
&nbsp; es la derivada de &nbsp;
+
es la derivada de &nbsp;
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\mathrm{f}
\mathrm{f}

Revisión actual

Consideremos la grafica de una función   \mathrm{f} . Tomemos un punto   A \, = \, \left( </p> <pre> \, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, \right) \, </pre> <p>\right)   en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos   A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots   en la grafica de   \mathrm{f} . Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de   A   y que podemos elegir   A_n   tan cercano como queramos a A haciendo n lo suficientemente grande \left( \, A_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} A \, \right).


La recta   s_n   que pasa por los puntos A y   A_n   es una secante a la grafica de la función \mathrm{f} . Así, para cada   n \in \mathbb{N}   existe una secante que pasa por   A_n .


Imagen:tangente.png


Cuando n tiende a   \infty ,   s_n   tiende a la tangente a la grafica de la función \mathrm{f} en el punto   A . Denotamos esta tangente por t .


Habria de esperar, pues, que la pendiente de   s_n   tienda a la pendiente de la tangente t cuando n tiende a \infty . Como la pendiente de   s_n   es una tasa de variación media:


\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, </p> <pre> \right)}{A_{n,x} \, - \, A_x} </pre> <p>


( A_{n,x} \, =   abcisa de   A_n )


su limite cuando   n \to \infty   es una tasa de variación instantánea, la derivada de   \mathrm{f}   en   A_x .   Es decir, la pendiente de t es la derivada de   \mathrm{f}   en   A_x .


Obtenido de "http://wikillerato.org/Significado_geom%C3%A9trico_de_la_derivada.html"
   
 
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