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Procedimiento para factorizar un polinomio

De Wikillerato

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\mathrm{P} \left( \, x \, \right)
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Factorizemos el polinomio:
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A continuación factorizamos
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Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos y con coeficiente enteros,
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Finalmente, factorizamos el polinomio
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cuyas soluciones son 2 y 1, de manera que
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2x^2 - 6x + 4 = 2 \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)
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y, por tanto
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\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \,
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x - 2 \, \right) \cdot \left( \, x - 3 \, \right)
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[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual


1. Sacamos x factor común, si ello es posible, y tantas veces como se pueda.


2. Si el polinomio   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   es de grado dos:

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c

resolvemos la ecuación

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c = 0

Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   es irreducible, pero si la ecuación anterior tiene soluciones   r_1   y   r_2 ,   entonces podemos factorizar   \mathrm{P} \left( \, x \, \right)   de la siguiente manera:

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a \cdot \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot \left( \, x - r_2 \, \right)

Puede ocurrir que   r_1   y   r_2   coincidan ( sean iguales ).


3. Si el polinomio

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot x + a_0


• es de grado mayor que dos y


• sus coeficientes son enteros,


intentamos encontrar las raices reales del polinomio \mathrm{P} entre los números racionales de la forma   \frac{a}{b}   donde a es un divisor de   a_n   y b es un divisor de   a_0 ,   utilizando para ello la regla de Ruffini con cada una de estas fracciones y con el polinomio \mathrm{P} . 


 \mathrm{P} \left( \, a \, \right) = 0    si y solo si   x - a    es divisor de    \mathrm{P} \left( \, x   \, \right) .


Así, si llegado a un cierto punto en el proceso de factorización hemos encontrado raices   r_1, r_2, \ldots r_n   del polinomio \mathrm{P} , entonces existe un polinomio \mathrm{Q} tal que

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot \left( \, x - r_2 \, \right) \cdot \ldots \cdot \left( \, x - r_n \, \right) \cdot \mathrm{Q} \left( \, x \, \right)


e intentariamos descomponer mas \mathrm{P} factorizando \mathrm{Q} .


Ejemplo


Factorizemos el polinomio:

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x

Como se puede sacar un x factor común, eso es lo primero que hacemos:

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x = x \cdot \left( \, 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 \, \right)

A continuación factorizamos

\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) = 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12

Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos y con coeficiente enteros, utilizamos la regla de Ruffini con este polinomio y con las fracciones de la forma   \frac{a}{b} ,   donde a es un divisor de   a_0 = -12   y b es un divisor de   a_3 = 2 .   Utilizando la regla de Ruffini con estas fracciones encontramos que 3 es una raiz de   \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) ,   es decir,   \mathrm{Q} \left( \, 3 \, \right) = 0 ,   y que

2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 = \left( \, x - 3 \, \right) \cdot \left( </p> <pre> \, 2x^2 - 6x + 4 \, </pre> <p>\right)

Finalmente, factorizamos el polinomio

2x^2 - 6x + 4

resolviendo la ecuación

2x^2 - 6x + 4 = 0

cuyas soluciones son 2 y 1, de manera que

2x^2 - 6x + 4 = 2 \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, x - 2 \, \right)

y, por tanto

\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, </p> <pre> x - 2 \, \right) \cdot \left( \, x - 3 \, \right) </pre> <p>

Obtenido de "http://wikillerato.org/Procedimiento_para_factorizar_un_polinomio.html"
   
 
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