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Primitiva de una función

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==Definición==
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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si la [[Definición de derivada|derivada]] de &nbsp;
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\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
\mathrm{F} \left( \, x \, \right)
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I \qquad \Leftrightarrow \qquad \mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) =
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I \quad \Leftrightarrow \quad \left( \, \mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) =
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in I \, \right)
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==Ejemplo==
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\mathrm{f}
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C
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Reciprocamente, si a una primitiva de una fución &nbsp;
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Reciprocamente, si a una primitiva de una función &nbsp;
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\mathrm{f}
\mathrm{f}
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, &nbsp; le añadimos una constante
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\mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2 \, + \, 7
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\mathrm{f}\left(\,x\,\right)\,=\,2\cdot x
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\mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \,
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Observese que la diferencia &nbsp;
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\mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, - \,
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&nbsp; es una constante ( = 7 ).
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[[Category: Matemáticas]]
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Revisión actual

Tabla de contenidos

Definición


Dadas dos funciones   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   y   \mathrm{F} \left( \, x \, \right) ,   definidas en un intervalo   </p> <pre>I = </pre> <p>\left[ </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right] ,   diremos que   \mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es una función primitiva de   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   en I si la derivada de   \mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es la función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   en el intervalo   I .


\mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es primitiva de   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   en   I \quad \Leftrightarrow \quad \left( \, \mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) = </p> <pre>\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in I \, \right) </pre> <p>


Calcular la primitiva de una función es el proceso inverso al de calcular su derivada.


Ejemplo


Consideremos la función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2   y denotemos por   \mathrm{g}   la derivada de   \mathrm{f} ,   es decir:


\mathrm{g} \left( \,x \, \right) \, = \, \mathrm{f}^\prime \left( \,x \, \right) \, = \, 2 \cdot x


Entonces una primitiva de   \mathrm{g} \left( \, x \, \right)   es   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) .


¿Cuantas primitivas puede tener una función?


Una función cualquiera admite infinitas primitivas, de hecho 


Dos funciones son primitivas de una misma función si y solo si se diferencian solo en una constante aditiva.


Es decir, si   \mathrm{F}   y   \mathrm{G}   son primitivas de   \mathrm{f} ,   entonces existe un número real   C ,   tal que


\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{G} \left( \, x \, \right) </p> <pre>\, + \, C </pre> <p>


Reciprocamente, si a una primitiva de una función   \mathrm{f}   le añadimos una constante   C ,   entonces obtenemos otra primitiva de   \mathrm{f} .


Ejemplo


  \mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2   y   \mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2 \, + \, 7   son dos funciones primitivas de   \mathrm{f}\left(\,x\,\right)\,=\,2\cdot x ,   ya que


\mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{G}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)


Observese que la diferencia   \mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, - \, \mathrm{F} \left( \, x \, \right)   es una constante ( = 7 ).


Obtenido de "http://wikillerato.org/Primitiva_de_una_funci%C3%B3n.html"
   
 
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