Procedimiento para factorizar un polinomio
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+ | entre los números racionales de la forma | ||
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- | \mathrm{P} \left( \, x \, \right) | + | r_1, r_2, \ldots r_n |
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+ | \left( \, x - r_2 \, \right) \cdot \ldots \cdot \left( \, x - r_n \, \right) | ||
+ | \cdot \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) | ||
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- | Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos, utilizamos la regla de Ruffini | + | Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos y con coeficiente enteros, |
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+ | Utilizando la regla de Ruffini con estas fracciones encontramos que 3 es una raiz de | ||
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+ | \mathrm{Q} \left( \, 3 \, \right) = 0 | ||
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y que | y que | ||
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- | 2x^2 - 6x + 4 | + | 2x^2 - 6x + 4 = 0 |
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Línea 189: | Línea 256: | ||
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- | \mathrm{P} \left( \, x \, \right) = | + | \mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x \left( \, x - 1 \, \right) \cdot \left( \, |
x - 2 \, \right) \cdot \left( \, x - 3 \, \right) | x - 2 \, \right) \cdot \left( \, x - 3 \, \right) | ||
</math> | </math> |
Revisión actual
1. Sacamos factor común, si ello es posible, y tantas veces como se pueda.
2. Si el polinomio es de grado dos:
resolvemos la ecuación
Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio es irreducible, pero si la ecuación anterior tiene soluciones y , entonces podemos factorizar de la siguiente manera:
Puede ocurrir que y coincidan ( sean iguales ).
3. Si el polinomio
• es de grado mayor que dos y
• sus coeficientes son enteros,
intentamos encontrar las raices reales del polinomio entre los números racionales de la forma donde es un divisor de y es un divisor de , utilizando para ello la regla de Ruffini con cada una de estas fracciones y con el polinomio .
si y solo si es divisor de .
Así, si llegado a un cierto punto en el proceso de factorización hemos encontrado raices del polinomio , entonces existe un polinomio tal que
e intentariamos descomponer mas factorizando .
Ejemplo
Factorizemos el polinomio:
Como se puede sacar un factor común, eso es lo primero que hacemos:
A continuación factorizamos
Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos y con coeficiente enteros, utilizamos la regla de Ruffini con este polinomio y con las fracciones de la forma , donde es un divisor de y es un divisor de . Utilizando la regla de Ruffini con estas fracciones encontramos que 3 es una raiz de , es decir, , y que
Finalmente, factorizamos el polinomio
resolviendo la ecuación
cuyas soluciones son 2 y 1, de manera que
y, por tanto