Procedimiento para factorizar un polinomio
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<math> \mathrm{P} \left( \, a \, \right) = 0 </math> si y solo si <math> x - a </math> es divisor de <math> \mathrm{P} \left( \, x \, \right) </math>. | <math> \mathrm{P} \left( \, a \, \right) = 0 </math> si y solo si <math> x - a </math> es divisor de <math> \mathrm{P} \left( \, x \, \right) </math>. | ||
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- | \frac{ | + | \frac{a}{b} |
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- | </ | + | es un divisor de |
- | + | <math> | |
+ | a_0 = -12 | ||
+ | </math> | ||
+ | y | ||
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+ | b | ||
+ | </math> | ||
+ | es un divisor de | ||
+ | <math> | ||
+ | a_3 = 2 | ||
+ | </math>. | ||
+ | | ||
+ | Utilizando la regla de Ruffini con estas fracciones encontramos que 3 es una raiz de | ||
<math> | <math> | ||
\mathrm{Q} \left( \, x \, \right) | \mathrm{Q} \left( \, x \, \right) |
Revisión actual
1. Sacamos factor común, si ello es posible, y tantas veces como se pueda.
2. Si el polinomio es de grado dos:
resolvemos la ecuación
Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio es irreducible, pero si la ecuación anterior tiene soluciones y , entonces podemos factorizar de la siguiente manera:
Puede ocurrir que y coincidan ( sean iguales ).
3. Si el polinomio
• es de grado mayor que dos y
• sus coeficientes son enteros,
intentamos encontrar las raices reales del polinomio entre los números racionales de la forma donde es un divisor de y es un divisor de , utilizando para ello la regla de Ruffini con cada una de estas fracciones y con el polinomio .
si y solo si es divisor de .
Así, si llegado a un cierto punto en el proceso de factorización hemos encontrado raices del polinomio , entonces existe un polinomio tal que
e intentariamos descomponer mas factorizando .
Ejemplo
Factorizemos el polinomio:
Como se puede sacar un factor común, eso es lo primero que hacemos:
A continuación factorizamos
Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos y con coeficiente enteros, utilizamos la regla de Ruffini con este polinomio y con las fracciones de la forma , donde es un divisor de y es un divisor de . Utilizando la regla de Ruffini con estas fracciones encontramos que 3 es una raiz de , es decir, , y que
Finalmente, factorizamos el polinomio
resolviendo la ecuación
cuyas soluciones son 2 y 1, de manera que
y, por tanto