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Significado geométrico de la derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (10:38 3 ene 2011) (editar) (deshacer)
 
(4 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
-
 
Consideremos la grafica de una función  
Consideremos la grafica de una función  
<math>
<math>
Línea 23: Línea 22:
A
A
</math>
</math>
-
&nbsp; y que cuanto mayor es
+
&nbsp; y que podemos elegir &nbsp;
-
<math>
+
-
n
+
-
</math>
+
-
mas cerca esta el punto &nbsp;
+
<math>
<math>
A_n
A_n
</math>
</math>
-
&nbsp; de
+
&nbsp; tan cercano como queramos a <math>
 +
A
 +
</math>
 +
haciendo
<math>
<math>
-
A
+
n
</math>
</math>
 +
lo suficientemente grande
<math>
<math>
-
\left( \, n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} A \, \right)
+
\left( \, A_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} A \, \right).
</math>
</math>
Línea 45: Línea 44:
s_n
s_n
</math>
</math>
-
&nbsp; que pasa por los puntos &nbsp;
+
&nbsp; que pasa por los puntos
<math>
<math>
A
A
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
y &nbsp;
<math>
<math>
A_n
A_n
</math>
</math>
-
&nbsp; es una secante a la grafica de la función &nbsp;
+
&nbsp; es una secante a la grafica de la función
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
-
</math>. De esta forma, hay una secante &nbsp;
+
</math>. Así, para cada &nbsp;
-
<math>a
+
<math>
-
s_n
+
n \in \mathbb{N}
</math>
</math>
-
&nbsp; para cada punto &nbsp;
+
&nbsp; existe una secante que pasa por &nbsp;
<math>
<math>
A_n
A_n
Línea 73: Línea 72:
<br/>
<br/>
-
Cuando &nbsp;
+
Cuando
<math>
<math>
n
n
</math>
</math>
-
&nbsp; tiende a &nbsp;
+
tiende a &nbsp;
<math>
<math>
\infty
\infty
Línea 85: Línea 84:
s_n
s_n
</math>
</math>
-
&nbsp; tiende a la tangente a la grafica de la función &nbsp;
+
&nbsp; tiende a la tangente a la grafica de la función
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
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</math>
-
&nbsp; en el punto &nbsp;
+
en el punto &nbsp;
<math>
<math>
A
A
-
</math>, &nbsp;
+
</math>. Denotamos esta tangente por
<math>
<math>
t
t
Línea 153: Línea 152:
<math>
<math>
A_x
A_x
-
</math>; es decir la pendiente de &nbsp;
+
</math>.
 +
&nbsp; Es decir, la pendiente de
<math>
<math>
t
t
</math>
</math>
-
&nbsp; es la derivada de &nbsp;
+
es la derivada de &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}

Revisión actual

Consideremos la grafica de una función   \mathrm{f} . Tomemos un punto   A \, = \, \left( </p> <pre> \, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, \right) \, </pre> <p>\right)   en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos   A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots   en la grafica de   \mathrm{f} . Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de   A   y que podemos elegir   A_n   tan cercano como queramos a A haciendo n lo suficientemente grande \left( \, A_n \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} A \, \right).


La recta   s_n   que pasa por los puntos A y   A_n   es una secante a la grafica de la función \mathrm{f} . Así, para cada   n \in \mathbb{N}   existe una secante que pasa por   A_n .


Imagen:tangente.png


Cuando n tiende a   \infty ,   s_n   tiende a la tangente a la grafica de la función \mathrm{f} en el punto   A . Denotamos esta tangente por t .


Habria de esperar, pues, que la pendiente de   s_n   tienda a la pendiente de la tangente t cuando n tiende a \infty . Como la pendiente de   s_n   es una tasa de variación media:


\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, </p> <pre> \right)}{A_{n,x} \, - \, A_x} </pre> <p>


( A_{n,x} \, =   abcisa de   A_n )


su limite cuando   n \to \infty   es una tasa de variación instantánea, la derivada de   \mathrm{f}   en   A_x .   Es decir, la pendiente de t es la derivada de   \mathrm{f}   en   A_x .


Obtenido de "http://wikillerato.org/Significado_geom%C3%A9trico_de_la_derivada.html"
   
 
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