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Ecuaciones del plano

De Wikillerato

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Existen diferentes formas de expresar la ecuación de un plano. Las describimos a
Existen diferentes formas de expresar la ecuación de un plano. Las describimos a
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==Ecuación en forma vectorial==
==Ecuación en forma vectorial==
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\vec{\mathbf{v}}
\vec{\mathbf{v}}
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\lambda, \,\mu \in R
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expresión que se conoce como ecuación vectorial del plano.
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\pi: \, ax \, + \, by \, + \, cz \, + \, d \, = \, 0
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expresión que recibe el nombre de '''''ecuación normal''''' del plano. A partir de la
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ecuación normal del plano se puede obtener muy fácilmente su ecuación general:
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Determinemos las ecuaciones del plano que contiene a los puntos:
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&nbsp; en forma general, cartesiana o implícita:
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x \, + \, y \, + \, z \, - \, 1 \, = \, 0
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[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Un plano   \pi   queda determinado cuando se conoce un punto   P   del mismo y dos vectores   \vec{\mathbf{u}}   y   \vec{\mathbf{v}}   no nulos y linealmente independientes que éstan contenidos en el plano, llamados vectores directores del plano.


Existen diferentes formas de expresar la ecuación de un plano. Las describimos a continuación.


Tabla de contenidos

Ecuación en forma vectorial


El plano   \pi   que contiene al punto   P_0 \, = \, \left( </p> <pre> \, x_0, \, y_0, \, z_0 \, </pre> <p>\right)   y tiene como vectores directores los vectores   \vec{\mathbf{u}}   y   \vec{\mathbf{v}}   es el conjunto de puntos del espacio que verifican la siguiente relación vectorial:


\stackrel{\longrightarrow}{P_0P} \, = \, \lambda \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{v}}


con   \lambda, \, \mu \in R  


Teniendo en cuenta que   P \, = \, P_0 \, + \, \stackrel{\longrightarrow}{P_0P} , resulta:


P \, = \, P_0 \, + \, \lambda \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{v}}


expresión que se conoce como ecuación vectorial del plano.


Imagen:plano.gif


Ecuación en forma paramétrica


Desarrollando la ecuación vectorial expresada en componentes, resulta:


\pi: \, \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} x $ \, = \, x_0 \, + \, \mu v_x \, + \, \lambda u_x \\ y $ \, = \, y_0 \, + \, \mu v_y \, + \, \lambda u_y \\ z $ \, = \, z_0 \, + \, \mu v_z \, + \, \lambda u_z \end{array} </pre> <p>\right.


expresión que se conoce como ecuación en forma paramétrica.


Ecuación en forma general


Como


P \, - \, P_0 \, = \, \lambda \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{v}}


en el determinante

\left| </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, - \, x_0 & u_x & v_x \\ y \, - \, y_0 & u_y & v_y \\ z \, - \, z_0 & u_z & v_z \\ \end{array} </pre> <p>\right|


la primera columna es combinación lineal de la segunda y de la tercera. Por tanto dicho determinante es cero. Desarrollando el determinante, agrupando términos e igualando a 0, nos queda un ecuación de la forma :

\pi: \, ax \, + \, by \, + \, cz \, + \, d \, = \, 0


que es la ecuación en forma general, cartesiana o implícita del plano. (   a, \, b, \, c, \, d   son números reales ).


Ecuación normal


Otra forma de determinar la ecuación de un plano es conociendo un punto del mismo y un vector normal al plano.


Sea   P_0 \, = \, \left( </p> <pre> \, x_0, \, y_0, \, z_0 \, </pre> <p>\right)   un punto dado del plano   \pi   y sea   \vec{\mathbf{n}} \, = \, \left( </p> <pre> \, a, \, b, \, c \, </pre> <p>\right)   un vector normal a   \pi . Entonces, para cualquier punto   P \, = \, \left( </p> <pre> \, x, \,y, \, z \, </pre> <p>\right)   del plano   \pi , el vector   \stackrel{\longrightarrow}{P_0P}   es perpendicular a   \vec{\mathbf{n}} , de manera que


\vec{\mathbf{n}} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{P_0P} \, = \, 0


expresión que recibe el nombre de ecuación normal del plano. A partir de la ecuación normal del plano se puede obtener muy fácilmente su ecuación general:


\vec{\mathbf{n}} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{P_0P} \, = \, a \cdot \left( </p> <pre> \, x \, - \, x_0 \, </pre> <p>\right) \, + \, b \cdot \left( </p> <pre> \, y \, - \, y_0 \, </pre> <p>\right) \, + \, c \cdot \left( </p> <pre> \, z \, - \, z_0 \, </pre> <p>\right) </p> <pre>\, = \, 0 \, \Rightarrow \, ax \, + \, by \, + \, cz \, + \, d \, = \, 0 </pre> <p>


donde   d \, = \, -ax_0 \, - \, by_0 \, - \, cz_0 .


Ejemplo

Determinemos las ecuaciones del plano que contiene a los puntos:


P_0 \, = \, \left( </p> <pre> \, 1, \, 0, \, 0 \, </pre> <p>\right) , \, P_1 \, = \, \left( </p> <pre> \, 0, \, 1, \, 0 \, </pre> <p>\right) \quad \mathrm{y} \quad P_2 \, = \, \left( </p> <pre> \, 0, \, 0, \, 1 \, </pre> <p>\right)


Tanto


\stackrel{\longrightarrow}{P_0P_1} \, = \, OP_1 \, - \, OP_0


como


\stackrel{\longrightarrow}{P_0P_2} \, = \, OP_2 \, - \, OP_0


son vectores directores del plano   \pi , de manera que


P \, = \, P_0 \, + \, \mu \stackrel{\longrightarrow}{P_0P_2} \, + \, \lambda \stackrel{\longrightarrow}{P_0P_1}


, es decir


\left( </p> <pre> \, x, \, y, \, z \, \right) \, = \, \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right) \, + \, \mu \left( \, -1, \, 0, \, 1 \, \right) \, + \, \lambda \left( \, -1, \, 1, \, 0 \, \right) </pre> <p>


es la ecuación vectorial del plano   \pi . De la cual se deduce la ecuación de   \pi   en forma paramétrica:


\pi: \, \left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} x & = & 1 \, - \, \mu \, - \, \lambda \\ y &= & \lambda \\ z & = & \mu \end{array} </pre> <p>\right.


Como   \left( </p> <pre> \, x \, - \, 1, \, y, \, z \, </pre> <p>\right)   es una combinación lineal de   \left( </p> <pre> \, -1, \, 1, \, 0 \, </pre> <p>\right)   y de   \left( </p> <pre> \, -1, \, 0, \, 1 \, </pre> <p>\right)   se ha de tener que


\left| </p> <pre> \begin{array}[c]{ccc} x \, - \, 1 & -1 & -1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 0 & 1 \\ \end{array} </pre> <p>\right| \, = \, 0


de lo que se deduce la ecuación de   \pi   en forma general, cartesiana o implícita:


x \, + \, y \, + \, z \, - \, 1 \, = \, 0


Obtenido de "http://wikillerato.org/Ecuaciones_del_plano.html"
   
 
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