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Definición de derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Revisión actual (10:29 2 ene 2011) (editar) (deshacer)
 
(11 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 7: Línea 7:
x \, = \, a
x \, = \, a
</math>
</math>
-
, &nbsp;
+
, si existe, es el valor del limite:
 +
 
 +
<br/>
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<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f}^\prime
+
\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
-
\left(
+
-
\, a \,
+
-
\right)
+
-
\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
+
\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
</math>.
</math>.
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
Si &nbsp;
+
Si este limite es un número real, la función &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}^\prime
+
\mathrm{f}
-
\left(
+
-
\, a \,
+
-
\right)
+
</math>
</math>
-
&nbsp; es un número real, la función &nbsp;
+
&nbsp; es '''''derivable''''' en &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, a
 +
</math>.
 +
Si el límite anterior no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es derivable en &nbsp;
+
&nbsp; NO es derivable en &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
x = a
</math>.
</math>.
-
Si &nbsp;
+
 
 +
<br/>
 +
 
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La derivada de la función
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
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 +
en &nbsp;
 +
<math>
 +
x = a
 +
</math>
 +
&nbsp; se denota por &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}^\prime
\mathrm{f}^\prime
\left(
\left(
-
\, a \,
+
\, a \,
\right)
\right)
-
</math>
+
</math>.
-
&nbsp; no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
+
 
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<br/>
 +
 
 +
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<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\mathrm{f}^\prime
-
</math>
+
\left(
-
&nbsp; no es derivable en dicho punto.
+
\, a \,
 +
\right)
 +
= \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
 +
</math>.
 +
</center>
<br/>
<br/>
-
==Ejemplo==
+
==Ejemplo 1==
<br/>
<br/>
Línea 76: Línea 97:
\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \,
\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \,
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac
-
{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, \left( \, 2 \, \right)^2}{h} \, = \,
+
{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,
</math>
</math>
Línea 84: Línea 105:
\, = \, \lim_{h \to 0}
\, = \, \lim_{h \to 0}
\frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
\frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
-
\lim_{h \to 0} \frac {\left( \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
+
\lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0}
-
\lim_{h \to 0}
+
\left(
\left(
\, h \, + 4 \, \,
\, h \, + 4 \, \,
Línea 92: Línea 112:
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
 +
<br/>
 +
 +
==Ejemplo 2==
 +
 +
<br/>
 +
 +
La función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left| \, x \, \right|
 +
</math>
 +
&nbsp; NO es derivable en &nbsp;
 +
<math>
 +
x = 0
 +
</math>
 +
&nbsp; ya que no existe el limite
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h}
 +
</math>
 +
</center>
 +
No existe por que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}
 +
</math>
 +
</center>
 +
y por que
 +
<center>
 +
<math>
 +
\lim_{h \to 0^-} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} = -1 \neq 1 =
 +
\lim_{h \to 0^+} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}
 +
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 +
es decir, los dos limites laterales son distintos.
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[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

La derivada de la función   \mathrm{f}   en el punto   x \, = \, a , si existe, es el valor del limite:


\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> <p>.


Si este limite es un número real, la función   \mathrm{f}   es derivable en   x \, = \, a . Si el límite anterior no es un número real o el límite no existe, la función   \mathrm{f}   NO es derivable en   x = a .


La derivada de la función \mathrm{f} en   x = a   se denota por   \mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, a \, </pre> <p>\right) .


\mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, a \, </pre> <p>\right) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> <p>.


Ejemplo 1


Calculemos la derivada de   \mathrm{f} \left( </p> <pre> \, x \, </pre> <p>\right) \, = \, x^2   en   x \, = \, 2 :


\mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, 2 \, </pre> <p>\right) \, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac </pre> <p>{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,


\, = \, \lim_{h \to 0} \frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \left( </p> <pre> \, h \, + 4 \, \, \right) \, = \, 4 </pre> <p>


Ejemplo 2


La función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left| \, x \, \right|   NO es derivable en   x = 0   ya que no existe el limite

\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} </pre> <p>

No existe por que

\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} </pre> <p>

y por que

\lim_{h \to 0^-} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} = -1 \neq 1 = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}


es decir, los dos limites laterales son distintos.


Obtenido de "http://wikillerato.org/Definici%C3%B3n_de_derivada.html"
   
 
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