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Definición de derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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==Función estrictamente creciente en un intervalo==
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La derivada de la función  
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Una función &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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\mathrm{f}
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&nbsp; es '''''estrictamente creciente''''' en un intervalo &nbsp;
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&nbsp; en el punto &nbsp;
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\left(
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x \, = \, a
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\, a, \, b \,
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, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
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, si existe, es el valor del limite:
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x_1
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\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
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\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
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\, - \, x_1} > 0
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\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
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Si este limite es un número real, la función &nbsp;
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Cuando en la grafica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha
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x_2 > x_1 \Rightarrow
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\mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)
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&nbsp; es '''''derivable''''' en &nbsp;
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x \, = \, a
x \, = \, a
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&nbsp; si existe algun número positivo &nbsp;
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Si el límite anterior no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
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\, x \, - \, h, \, x \, + \, h \,
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x \, = \, a
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x = a
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; es '''''creciente''''' en un intervalo &nbsp;
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\mathrm{f}^\prime
\left(
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\, a, \, b \,
+
\, a \,
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= \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
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, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
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\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
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==Función estrictamente decreciente en un intervalo==
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==Ejemplo 1==
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Una función &nbsp;
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Calculemos la derivada de &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; es '''''estrictamente decreciente''''' en un intervalo &nbsp;
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\mathrm{f}
\left(
\left(
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\, a, \, b \,
+
\, x \,
\right)
\right)
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\, = \, x^2
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, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
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x_1
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&nbsp; y &nbsp;
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\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
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\mathrm{f}^\prime
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\, - \, x_1} < 0
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\left(
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\, 2 \,
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\right)
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\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \,
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\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac
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{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,
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x_2 > x_1 \Rightarrow
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\, = \, \lim_{h \to 0}
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\mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) < \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)
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\frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
 +
\lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0}
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\left(
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\, h \, + 4 \, \,
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\, = \, 4
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Una función &nbsp;
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==Ejemplo 2==
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f
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&nbsp; es estrictamente decreciente en el punto de abcisa &nbsp;
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x \, = \, a
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&nbsp; si existe algun número positivo &nbsp;
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h
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&nbsp; tal que &nbsp;
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&nbsp; es estrictamente decreciente en el intervalo &nbsp;
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\, x \, - \, h, \, x \, + \, h \,
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De esta esta definición se deduce que si &nbsp;
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La función &nbsp;
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\mathrm{f}
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left| \, x \, \right|
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&nbsp; es [[Definición de derivada|derivable]] en &nbsp;
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&nbsp; NO es derivable en &nbsp;
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x \, = \, a
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x = 0
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&nbsp; y &nbsp;
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&nbsp; ya que no existe el limite
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f
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\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
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\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h}
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&nbsp; es estrictamente decreciente en el punto de abcisa &nbsp;
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No existe por que
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x \, = \, a
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\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
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\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}
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, entonces &nbsp;
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y por que
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\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0
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\lim_{h \to 0^-} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} = -1 \neq 1 =
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\lim_{h \to 0^+} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}
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==Función decreciente en un intervalo==
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Una función &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
</math>
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&nbsp; es '''''decreciente''''' en un intervalo &nbsp;
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\left(
+
-
\, a, \, b \,
+
-
\right)
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, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
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<math>
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-
x_1
+
-
</math>
+
-
&nbsp; y &nbsp;
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<math>
+
-
x_2
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, se cumple que:
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es decir, los dos limites laterales son distintos.
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\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
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\, - \, x_1} \le 0
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<br/>
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

La derivada de la función   \mathrm{f}   en el punto   x \, = \, a , si existe, es el valor del limite:


\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> <p>.


Si este limite es un número real, la función   \mathrm{f}   es derivable en   x \, = \, a . Si el límite anterior no es un número real o el límite no existe, la función   \mathrm{f}   NO es derivable en   x = a .


La derivada de la función \mathrm{f} en   x = a   se denota por   \mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, a \, </pre> <p>\right) .


\mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, a \, </pre> <p>\right) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> <p>.


Ejemplo 1


Calculemos la derivada de   \mathrm{f} \left( </p> <pre> \, x \, </pre> <p>\right) \, = \, x^2   en   x \, = \, 2 :


\mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, 2 \, </pre> <p>\right) \, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac </pre> <p>{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,


\, = \, \lim_{h \to 0} \frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \left( </p> <pre> \, h \, + 4 \, \, \right) \, = \, 4 </pre> <p>


Ejemplo 2


La función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left| \, x \, \right|   NO es derivable en   x = 0   ya que no existe el limite

\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} </pre> <p>

No existe por que

\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} </pre> <p>

y por que

\lim_{h \to 0^-} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} = -1 \neq 1 = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}


es decir, los dos limites laterales son distintos.


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