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==Función estrictamente creciente en un intervalo==
+
==Máximo relativo==
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Una función &nbsp;
Una función &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f}
</math>
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&nbsp; es '''''estrictamente creciente''''' en un intervalo &nbsp;
+
&nbsp; alcanza un '''''máximo relativo''''' en el punto de abcisa &nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
x_0
-
\, a, \, b \,
+
-
\right)
+
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</math>
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, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
+
&nbsp; si existe un numero positivo &nbsp;
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x_1
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h
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&nbsp; y &nbsp;
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&nbsp; de forma que &nbsp;
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x_2
+
\mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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, se cumple que:
 
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\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
 
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\, - \, x_1} > 0
 
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para todos los puntos &nbsp;
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[[Imagen:funcion4.png]]
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Cuando en la grafica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha
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tambien nos movemos hacia arriba:
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x_2 > x_1 \Rightarrow
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x
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\mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)
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Una función &nbsp;
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f
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&nbsp; es estrictamente creciente en el punto de abcisa &nbsp;
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x \, = \, a
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&nbsp; si existe algun número positivo &nbsp;
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h
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&nbsp; tal que &nbsp;
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&nbsp; es estrictamente creciente en el intervalo &nbsp;
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&nbsp; del intervalo &nbsp;
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\left(
\left(
-
\, x \, - \, h, \, x \, + \, h \,
+
\, x_0 \, - \, h, \, x_0 \, + \, h \,
\right)
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De esta esta definición se deduce que si &nbsp;
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Si &nbsp;
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\mathrm{f}
\mathrm{f}
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&nbsp; es [[Definición de derivada|derivable]] en &nbsp;
&nbsp; es [[Definición de derivada|derivable]] en &nbsp;
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-
x \, = \, a
+
x_0
</math>
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&nbsp; y &nbsp;
&nbsp; y &nbsp;
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f
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\mathrm{f}
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&nbsp; es estrictamente creciente en el punto de abcisa &nbsp;
+
&nbsp; alcanza un máximo relativo en el punto de abcisa &nbsp;
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x \, = \, a
+
x_0
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, entonces &nbsp;
+
&nbsp; entonces &nbsp;
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\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0
+
\mathrm{f}^\prime \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0
</math>.
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==Función creciente en un intervalo==
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Si la función &nbsp;
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Una función &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f}
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&nbsp; es '''''creciente''''' en un intervalo &nbsp;
+
&nbsp; es [[Continuidad de una función|continua]], el que &nbsp;
<math>
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\left(
+
\mathrm{f}
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\, a, \, b \,
+
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\right)
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, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
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x_1
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&nbsp; y &nbsp;
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x_2
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, se cumple que:
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&nbsp; tenga un máximo relativo en un punto significa que la función es creciente a la
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izquierda y decreciente a la derecha de ese punto.
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[[Imagen:maximo.png]]
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\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
+
-
\, - \, x_1} \ge 0
+
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==Función estrictamente decreciente en un intervalo==
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Si &nbsp;
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Una función &nbsp;
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<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f}^\prime \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0
</math>
</math>
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&nbsp; es '''''estrictamente decreciente''''' en un intervalo &nbsp;
+
&nbsp; y &nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0 \, \right) \, < \, 0
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\, a, \, b \,
+
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\right)
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, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
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&nbsp; entonces &nbsp;
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x_1
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\mathrm{f}
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&nbsp; y &nbsp;
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&nbsp; tiene una máximo relativo en el punto de abcisa &nbsp;
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x_2
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x \, = \, x_0
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, se cumple que:
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==Mínimo relativo==
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\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
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\, - \, x_1} < 0
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[[Imagen:funcion5.png]]
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Cuando en la grafica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha
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tambien nos movemos hacia abajo:
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x_2 > x_1 \Rightarrow
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\mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) < \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)
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Línea 201: Línea 99:
Una función &nbsp;
Una función &nbsp;
<math>
<math>
-
f
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es estrictamente decreciente en el punto de abcisa &nbsp;
+
&nbsp; alcanza un '''''mínimo relativo''''' en el punto de abcisa &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
x_0
</math>
</math>
-
&nbsp; si existe algun número positivo &nbsp;
+
&nbsp; si existe un numero positivo &nbsp;
<math>
<math>
h
h
</math>
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-
&nbsp; tal que &nbsp;
+
&nbsp; de forma que &nbsp;
<math>
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\mathrm{f}
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)
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&nbsp;
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para todos los puntos &nbsp;
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x
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-
&nbsp; es estrictamente decreciente en el intervalo &nbsp;
+
&nbsp; del intervalo &nbsp;
<math>
<math>
\left(
\left(
-
\, x \, - \, h, \, x \, + \, h \,
+
\, x_0 \, - \, h, \, x_0 \, + \, h \,
\right)
\right)
</math>.
</math>.
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De esta esta definición se deduce que si &nbsp;
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Si &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
Línea 231: Línea 133:
&nbsp; es [[Definición de derivada|derivable]] en &nbsp;
&nbsp; es [[Definición de derivada|derivable]] en &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
x_0
</math>
</math>
&nbsp; y &nbsp;
&nbsp; y &nbsp;
<math>
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-
f
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es estrictamente decreciente en el punto de abcisa &nbsp;
+
&nbsp; alcanza un mínimo relativo en el punto de abcisa &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
x_0
</math>
</math>
-
, entonces &nbsp;
+
&nbsp; entonces &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0
+
\mathrm{f}^\prime \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0
</math>.
</math>.
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<br/>
-
==Función decreciente en un intervalo==
+
Si la función &nbsp;
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\mathrm{f}
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</math>
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&nbsp; es [[Continuidad de una función|continua]], el que &nbsp;
 +
<math>
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\mathrm{f}
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</math>
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&nbsp; tenga un mínimo relativo en un punto significa que la función es decreciente a la
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izquierda y creciente a la derecha de ese punto.
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Una función &nbsp;
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[[Imagen:minimo.png]]
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Si &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f}^{\prime} \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0
</math>
</math>
-
&nbsp; es '''''decreciente''''' en un intervalo &nbsp;
+
&nbsp; y &nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0 \, \right) \, > \, 0
-
\, a, \, b \,
+
-
\right)
+
</math>
</math>
-
, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
+
&nbsp; entonces &nbsp;
<math>
<math>
-
x_1
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
&nbsp; tiene una mínimo relativo en el punto de abcisa &nbsp;
<math>
<math>
-
x_2
+
x \, = \, x_0
-
</math>
+
</math>.
-
, se cumple que:
+
-
<br/>
+
<br/>
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==Ejercicios Resueltos==
 +
 
 +
{{problemas}}* [http://www.selectividad.tv/S_M_2_1_20_S_asintotas_extremos_relativos_y_grafica_de_una_funcion.html Asíntotas, extremos relativos y gráfica de una función]
 +
* [http://www.selectividad.tv/S_M_2_1_6_S_extremos_de_una_funcion_polinomica.html Extremos de una función polinómica]
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
 
-
\, - \, x_1} \le 0
 
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</math>
 
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</center>
 
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<br/>
 
[[Category:Matemáticas]]
[[Category:Matemáticas]]

Revisión actual

Máximo relativo


Una función   
\mathrm{f}
  alcanza un máximo relativo en el punto de abcisa   
x_0
  si existe un numero positivo   
h
  de forma que   
\mathrm{f} \left( \, x_0  \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x  \, \right)
  para todos los puntos   
x
  del intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, x_0 \, - \, h, \, x_0 \, + \, h \,
</pre>
<p>\right)
.


Si   
\mathrm{f}
  es derivable en   
x_0
  y   
\mathrm{f}
  alcanza un máximo relativo en el punto de abcisa   
x_0
  entonces   
\mathrm{f}^\prime \left( \, x_0  \, \right) \, = \, 0
.


Si la función   
\mathrm{f} 
  es continua, el que   
\mathrm{f} 
  tenga un máximo relativo en un punto significa que la función es creciente a la izquierda y decreciente a la derecha de ese punto.


Imagen:maximo.png


Si   
\mathrm{f}^\prime \left( \, x_0  \, \right) \, = \, 0
  y   
\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0  \, \right) \, < \, 0
  entonces   
\mathrm{f}
  tiene una máximo relativo en el punto de abcisa   
x \, = \, x_0
.


Mínimo relativo


Una función   
\mathrm{f}
  alcanza un mínimo relativo en el punto de abcisa   
x_0
  si existe un numero positivo   
h
  de forma que   
\mathrm{f} \left( \, x  \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_0  \, \right)
  para todos los puntos   
x
  del intervalo   
\left(
</p>
<pre>  \, x_0 \, - \, h, \, x_0 \, + \, h \,
</pre>
<p>\right)
.


Si   
\mathrm{f}
  es derivable en   
x_0
  y   
\mathrm{f}
  alcanza un mínimo relativo en el punto de abcisa   
x_0
  entonces   
\mathrm{f}^\prime \left( \, x_0  \, \right) \, = \, 0
.


Si la función   
\mathrm{f} 
  es continua, el que   
\mathrm{f} 
  tenga un mínimo relativo en un punto significa que la función es decreciente a la izquierda y creciente a la derecha de ese punto.


Imagen:minimo.png


Si   
\mathrm{f}^{\prime} \left( \, x_0  \, \right) \, = \, 0
  y   
\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0  \, \right) \, > \, 0
  entonces   
\mathrm{f}
  tiene una mínimo relativo en el punto de abcisa   
x \, = \, x_0
.


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