Funciones acotadas
De Wikillerato
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+ | entonces, cualquier numero mayor ( menor ) que | ||
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+ | esta acotado superiormente y tiene maximo, ya que la mayor de las | ||
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+ | si | ||
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+ | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge \mathrm{f} \left( \, x_m \, \right), \, | ||
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+ | Por lo tanto el valor maximo ( minimo ) que alcanza una función es el maximo ( | ||
+ | minimo ) de su recorrido. | ||
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Revisión de 11:21 31 jul 2010
Tabla de contenidos |
Definición
Se dice que un conjunto de números reales esta acotado superiormente ( inferiormente ) si existe un número real que es mayor ( menor ) o igual que todos los elementos de .
A este n\'umero real se le llama cota superior ( inferior ). Si es una cota superior del conjunto , entonces, cualquier numero mayor ( menor ) que es tambien una cota superior ( inferior ) de
Ejemplo
El intervalo
es un conjunto acotado superiormente porque
Tambien esta acotado inferiormente porque
Definición
Una función esta acotada superiormente si su recorrido esta acotado superiormente, es decir, si existe un número tal que
en el dominio de
Analogamente, esta acotada inferiormente si su recorrido esta acotado inferiormente, es decir, si existe un número tal que
en el dominio de
Una función acotada es aquella que esta acotada superior e inferiormente.
Ejemplo
El recorrido de la función es el intervalo cerrado . Como este intervalo esta acotado, tanto superior como inferiormente, la función esta acotada tanto superior como inferiormente, es decir, la función esta acotada.
Propiedades
Propiedad 1
En la grafica de , el que este acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que existe una linea horizontal ( paralela al eje ), tal que ningun punto de la grafica se encuentra por encima ( debajo ) de dicha recta.
Propiedad 2
Una función con una asintota vertical no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente.
Mas concretamente:
- Si existe un número real
, tal que o , entonces no esta acotada superiormente.
- Reciprocamente, si existe un número real
, tal que o , entonces no esta acotada inferiormente.
Propiedad 3
Si o , entonces NO esta acotada superiormente.
Si o , entonces NO esta acotada inferiormente.
Ejemplo
La función
tiene una asintota vertical de ecuación . Por lo tanto, la función no esta acotada.
Para averiguar si esta acotada superior o inferiormente, calculamos cada uno de los siguientes limites laterales:
y
El primero es y el segundo es . Por lo tanto, no esta acotada ni superior, ni inferiormente.
Ejemplo
Por lo tanto, no esta acotada superiormente.
Ejemplo
Maximos y minimos
Un conjunto de números reales acotado superiormente tiene maximo si la menor de las cotas superiores de pertenece a . El maximo de sería, de existir, la menor de las cotas superiores de .
Ejemplo
El intervalo esta acotado superiormente, pero no tiene maximo, ya que la mayor de las cotas superiores es 2 que NO pertenece a dicho intervalo.
Ejemplo
El intervalo esta acotado superiormente y tiene maximo, ya que la mayor de las cotas superiores es 2 que SI pertenece al intervalo.
Maximos y minimos absolutos de una función
Una función se dice que alcanza el valor maximo en y que dicho valor maximo es , si
en el dominio de alcanza su valor minimo en y su valor minimo es , si <center> en el dominio de