Primitiva de una función

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 13:29 13 sep 2011

Tabla de contenidos

1 Definición
- 1.1 Ejemplo
2 ¿Cuantas primitivas puede tener una función?
- 2.1 Ejemplo

Definición

Dadas dos funciones $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ y $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ , definidas en un intervalo $ <pre>I = </pre> \left[ <pre> \, a, \, b \, </pre> \right]$ , diremos que $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es una función primitiva de $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ en $I$ si la derivada de $\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es la función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ en el intervalo $I$ .

$\mathrm{F} \left( \, x \, \right)$ es primitiva de $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ en $I \quad \Leftrightarrow \quad \left( \, \mathrm{F}^\prime \left( \, x \, \right) = <pre>\mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x \in I \, \right) </pre> $

Calcular la primitiva de una función es el proceso inverso al de calcular su derivada.

Ejemplo

Consideremos la función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^2$ y denotemos por $\mathrm{g}$ la derivada de $\mathrm{f}$ , es decir:

$\mathrm{g} \left( \,x \, \right) \, = \, \mathrm{f}^\prime \left( \,x \, \right) \, = \, 2 \cdot x$

Entonces una primitiva de $\mathrm{g} \left( \, x \, \right)$ es $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ .

¿Cuantas primitivas puede tener una función?

Una función cualquiera admite infinitas primitivas, de hecho

Dos funciones son primitivas de una misma función si y solo si se diferencian solo en una constante aditiva.

Es decir, si $\mathrm{F}$ y $\mathrm{G}$ son primitivas de $\mathrm{f}$ , entonces existe un número real $C$ , tal que

$\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{G} \left( \, x \, \right) <pre>\, + \, C </pre> $

Reciprocamente, si a una primitiva de una función $\mathrm{f}$ le añadimos una constante $C$ , entonces obtenemos otra primitiva de $\mathrm{f}$ .

Ejemplo

$\mathrm{F} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2$ y $\mathrm{G} \left( \, x \, \right) \, = \, x^2 \, + \, 7$ son dos funciones primitivas de $\mathrm{f}\left(\,x\,\right)\,=\,2\cdot x$ , ya que