Ecuaciones del plano
De Wikillerato
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- | \stackrel{\longrightarrow}{P_0P_1} \, = \, | + | \stackrel{\longrightarrow}{P_0P_1} \, = \, OP_1 \, - \, OP_0 |
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- | \stackrel{\longrightarrow}{P_0P_2} \, = \, | + | \stackrel{\longrightarrow}{P_0P_2} \, = \, OP_2 \, - \, OP_0 |
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Revisión actual
Un plano queda determinado cuando se conoce un punto del mismo y dos vectores y no nulos y linealmente independientes que éstan contenidos en el plano, llamados vectores directores del plano.
Existen diferentes formas de expresar la ecuación de un plano. Las describimos a continuación.
Tabla de contenidos |
Ecuación en forma vectorial
El plano que contiene al punto y tiene como vectores directores los vectores y es el conjunto de puntos del espacio que verifican la siguiente relación vectorial:
con
Teniendo en cuenta que , resulta:
expresión que se conoce como ecuación vectorial del plano.
Ecuación en forma paramétrica
Desarrollando la ecuación vectorial expresada en componentes, resulta:
expresión que se conoce como ecuación en forma paramétrica.
Ecuación en forma general
Como
en el determinante
la primera columna es combinación lineal de la segunda y de la tercera. Por tanto dicho
determinante es cero. Desarrollando el determinante, agrupando términos e igualando a 0,
nos queda un ecuación de la forma :
que es la ecuación en forma general, cartesiana o implícita del plano. ( son números reales ).
Ecuación normal
Otra forma de determinar la ecuación de un plano es conociendo un punto del mismo y un vector normal al plano.
Sea un punto dado del plano y sea un vector normal a . Entonces, para cualquier punto del plano , el vector es perpendicular a , de manera que
expresión que recibe el nombre de ecuación normal del plano. A partir de la ecuación normal del plano se puede obtener muy fácilmente su ecuación general:
donde .
Ejemplo
Determinemos las ecuaciones del plano que contiene a los puntos:
Tanto
como
son vectores directores del plano , de manera que
, es decir
es la ecuación vectorial del plano . De la cual se deduce la ecuación de en forma paramétrica:
Como es una combinación lineal de y de se ha de tener que
de lo que se deduce la ecuación de en forma general, cartesiana o implícita: