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|
| Línea 97: |
Línea 97: |
| | \right) | | \right) |
| | \, = \, 4 | | \, = \, 4 |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | [[Category:Matemáticas]]
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| - |
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| - | %% }}}
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| - | %% {{{ =tasas de variación
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| - |
| |
| - | ==Tasa de variación media==
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A
| |
| - | distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la
| |
| - | siguiente tabla:
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| - |
| |
| - | <br/>
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| - |
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| - | <center>
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| - | [[Imagen:tabla7.png]]
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| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | En este caso, la posición,
| |
| - | <math>
| |
| - | y
| |
| - | </math>
| |
| - | , se puede ver como una función,
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | , del tiempo,
| |
| - | <math>
| |
| - | x
| |
| - | </math>; es decir:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | La '''''tasa de variación media''''' de la posición en el intervalo de tiempo desde el
| |
| - | instante
| |
| - | <math>
| |
| - | 9
| |
| - | </math>
| |
| - | al instante
| |
| - | <math>
| |
| - | 13.4
| |
| - | </math>
| |
| - | es:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \,
| |
| - | \right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | En general, la tasa de variación media de la función
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | en
| |
| - | <math>
| |
| - | \left[
| |
| - | \, a, \, b \,
| |
| - | \right]
| |
| - | </math>
| |
| - | se define como el cociente:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \frac{\mathrm{f} \left( \, b \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a \,
| |
| - | \right)}{b \, - \, a}
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | ==Tasa de variación instantánea==
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | La '''''tasa de variación instantánea''''' de la función
| |
| - | <math>
| |
| - | f
| |
| - | </math>
| |
| - | en el punto
| |
| - | <math>
| |
| - | x \, = \, a
| |
| - | </math>
| |
| - | se obtiene haciendo tender
| |
| - | <math>
| |
| - | b
| |
| - | </math>
| |
| - | a
| |
| - | <math>
| |
| - | a
| |
| - | </math>
| |
| - | en la '''''tasa de variación media''''' de la función
| |
| - | <math>
| |
| - | f
| |
| - | </math>
| |
| - | en el intervalo
| |
| - | <math>
| |
| - | \left[
| |
| - | \, a, \, b \,
| |
| - | \right]
| |
| - | </math>; por tanto, la '''''tasa de variación instantánea''''' de la función
| |
| - | <math>
| |
| - | f
| |
| - | </math>
| |
| - | en el punto
| |
| - | <math>
| |
| - | x \, = \, a
| |
| - | </math>
| |
| - | es
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | que es precisamente la [[Definición de derivada|derivada]] de la función
| |
| - | <math>
| |
| - | f
| |
| - | </math>
| |
| - | en el punto
| |
| - | <math>
| |
| - | x \, = \, a
| |
| - | </math>.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | NOTA: En el límite anterior
| |
| - | <math>
| |
| - | b \, = \, a \, + \, h
| |
| - | </math>.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | [[Category:Matemáticas]]
| |
| - |
| |
| - | %% }}}
| |
| - | %% {{{ =Derivadas de las funciones elementales
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | [[Imagen:tablaDeDerivadas.png]]
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | %% }}}
| |
| - | %% {{{ =función derivada
| |
| - |
| |
| - | Si
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | es una función derivable en el intervalo
| |
| - | <math>
| |
| - | \left(
| |
| - | \, a, \, b \,
| |
| - | \right)
| |
| - | \subset R
| |
| - | </math>
| |
| - | , la '''''función derivada''''' de
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | es la que a cada
| |
| - | <math>
| |
| - | x \in
| |
| - | \left(
| |
| - | \, a, \, b \,
| |
| - | \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | le hace corresponder la [[Definición de derivada|derivada]] de
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | en dicho punto. Esta función se designa por
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
| |
| - | </math>.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | Una función
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | es '''''derivable''''' en el intervalo
| |
| - | <math>
| |
| - | \left(
| |
| - | \, a, \, b \,
| |
| - | \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | si lo es en cada punto del intervalo.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | Llamamos '''''derivada de segundo orden''''' de
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | a la función derivada de
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}^\prime
| |
| - | </math>.
| |
| - | Esta función se denota por
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}^{\prime \prime}
| |
| - | </math>.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}^{\prime \prime \prime}
| |
| - | </math>
| |
| - | es la '''''derivada tercera''''' de
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | y, en general,
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}
| |
| - | </math>
| |
| - | es la '''''derivada n-ésima''''' de
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
| |
| - | </math>:
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}
| |
| - | </math>
| |
| - | es la función derivada de
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}^{\left( \, n \, - \, 1 \, \right)}
| |
| - | </math>.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | [[Category:Matemáticas]]
| |
| - |
| |
| - | %% }}}
| |
| - | %% {{{ =significado geométrico de la derivada
| |
| - |
| |
| - | Consideremos la grafica de una función
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | . Tomemos un punto
| |
| - | <math>
| |
| - | A \, = \,
| |
| - | \left(
| |
| - | \, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, \right) \,
| |
| - | \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos
| |
| - | <math>
| |
| - | A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots
| |
| - | </math>
| |
| - | en la grafica de
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | . Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de
| |
| - | <math>
| |
| - | A
| |
| - | </math>
| |
| - | y que cuando
| |
| - | <math>
| |
| - | n \to \infty
| |
| - | </math>
| |
| - | ,
| |
| - | <math>
| |
| - | A_n \to A
| |
| - | </math>.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | La recta que pasa por los puntos
| |
| - | <math>
| |
| - | A
| |
| - | </math>
| |
| - | y
| |
| - | <math>
| |
| - | A_n
| |
| - | </math>
| |
| - | es una secante a la grafica de la función
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>. De esta forma, hay una secante para cada punto
| |
| - | <math>
| |
| - | A_n
| |
| - | </math>. Sea
| |
| - | <math>
| |
| - | s_n
| |
| - | </math>
| |
| - | la recta que pasa por
| |
| - | <math>
| |
| - | A
| |
| - | </math>
| |
| - | y por
| |
| - | <math>
| |
| - | A_n
| |
| - | </math>
| |
| - | .
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | [[Imagen:tangente.png]]
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | Cuando
| |
| - | <math>
| |
| - | n
| |
| - | </math>
| |
| - | tiende a
| |
| - | <math>
| |
| - | \infty
| |
| - | </math>
| |
| - | ,
| |
| - | <math>
| |
| - | s_n
| |
| - | </math>
| |
| - | tiende a la tangente a la grafica de la función
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | en el punto
| |
| - | <math>
| |
| - | A
| |
| - | </math>,
| |
| - | <math>
| |
| - | t
| |
| - | </math>:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | s_n \to t
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | Habria de esperar, pues, que la pendiente de
| |
| - | <math>
| |
| - | s_n
| |
| - | </math>
| |
| - | tienda a la pendiente de
| |
| - | <math>
| |
| - | t
| |
| - | </math>
| |
| - | cuando
| |
| - | <math>
| |
| - | n
| |
| - | </math>
| |
| - | tiende a
| |
| - | <math>
| |
| - | \infty
| |
| - | </math>. Como la pendiente de
| |
| - | <math>
| |
| - | s_n
| |
| - | </math>
| |
| - | es una [[La derivada como una tasa de variación instantánea|tasa de variación
| |
| - | media]]:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \,
| |
| - | \right)}{A_{n,x} \, - \, A_x}
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | (<math>
| |
| - | A_{n,x} \, =
| |
| - | </math>
| |
| - | abcisa de
| |
| - | <math>
| |
| - | A_n
| |
| - | </math>)
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | su limite cuando
| |
| - | <math>
| |
| - | n \to \infty
| |
| - | </math>
| |
| - | es una [[La derivada como una tasa de variación instantánea|tasa de variación instantánea]], la [[Definición de derivada|derivada]] de
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | en
| |
| - | <math>
| |
| - | A_x
| |
| - | </math>; es decir la pendiente de
| |
| - | <math>
| |
| - | t
| |
| - | </math>
| |
| - | es la derivada de
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | en
| |
| - | <math>
| |
| - | A_x
| |
| - | </math>.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | [[Category:Matemáticas]]
| |
| - |
| |
| - | %% }}}
| |
| - | %% {{{ =función derivada de las operaciones de funciones
| |
| - |
| |
| - | __TOC__
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | ==Derivada de la suma==
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de la suma de dos funciones es
| |
| - | igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \left(
| |
| - | \, \mathrm{f} \, + \, \mathrm{g} \,
| |
| - | \right)
| |
| - | ^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, + \, \mathrm{g}^\prime \,
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | ==Derivada de la diferencia==
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de la diferencia de dos funciones es
| |
| - | igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \left(
| |
| - | \, \mathrm{f} \, - \, \mathrm{g} \,
| |
| - | \right)
| |
| - | ^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, - \, \mathrm{g}^\prime \,
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | ==Derivada del producto==
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] del producto de dos funciones,
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | y
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{g}
| |
| - | </math>
| |
| - | , viene dada por la fórmula:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \left(
| |
| - | \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \,
| |
| - | \right)
| |
| - | ^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, + \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime \,
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | ==Derivada del cociente==
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] del cociente
| |
| - | <math>
| |
| - | \frac{f}{g}
| |
| - | </math>
| |
| - | viene dada por la fórmula:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \left(
| |
| - | \, \frac{f}{g} \,
| |
| - | \right)
| |
| - | ^\prime \, = \, \frac{\mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, - \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime}{\mathrm{g}^2}
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | [[Category:Matemáticas]]
| |
| - |
| |
| - | %% }}}
| |
| - | %% {{{ =composición de funciones
| |
| - |
| |
| - | El componer dos funciones
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f}
| |
| - | </math>
| |
| - | y
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{g}
| |
| - | </math>
| |
| - | consiste en aplicar
| |
| - | <math>
| |
| - | g
| |
| - | </math>
| |
| - | al resultado de calcular
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | , es decir:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | R \stackrel{\mathrm{f}}{\longrightarrow} R \stackrel{\mathrm{g}}{\longrightarrow} R
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <math>
| |
| - | x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \longrightarrow \mathrm{g}
| |
| - | \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
| |
| - | </math>
| |
| - |
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de
| |
| - | <math>
| |
| - | \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | viene dada por la fórmula:
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \left(
| |
| - | \, \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
| |
| - | \right)
| |
| - | ^\prime \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | <br/>
| |
| - |
| |
| - | resultado que se conoce como '''''regla de la cadena'''''.
| |
| - |
| |
| - | <br/>
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| - | ==Ejemplo==
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| - | <br/>
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| - | Calculemos la derivada de
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| - | <br/>
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| - | <center>
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| - | <math>
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| - | \mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \cos \left( \, x^2 \, \right)
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| - | </math>
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| - | </center>
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| - |
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| - | <br/>
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| - | <math>
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| - | \mathrm{h}
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| - | </math>
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| - | es la composición de dos funciones:
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| - |
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| - | <br/>
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| - | <center>
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| - | <math>
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| - | \left\{
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| - | \begin{array}[c]{rcl}
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| - | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, & = & \, x^2
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| - | \\
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| - | \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, & = & \, \cos \left( \, x \, \right)
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| - | \end{array}
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| - | \right.
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| - | </math>
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| - | </center>
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| - | <br/>
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| - | Es decir
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| - | <br/>
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| - | <center>
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| - | <math>
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| - | \mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
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| - | </math>
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| - | </center>
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| - |
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| - | <br/>
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| - | Para derivar
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| - | <math>
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| - | \mathrm{h} \left( \, x \, \right)
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| - | </math>
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| - | utilizamos la regla de la cadena:
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| - | <br/>
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| - | <center>
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| - | <math>
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| - | \mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
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| - | </math>
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| - | </center>
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| - | <br/>
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| - | Como
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| - | <br/>
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| - | <center>
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| - | <math>
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| - | \left\{
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| - | \begin{array}[c]{rcl}
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| - | \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, 2x
| |
| - | \\
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| - | \mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, -\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)
| |
| - | \end{array}
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| - | \right.
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| - | </math>
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| - | </center>
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| - | <br/>
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| - | se tiene que
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| - | <br/>
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| - | <center>
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| - | <math>
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| - | \mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left(
| |
| - | \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot 2x \, = \, -\mathrm{sen} \left(
| |
| - | \, x^2 \, \right) \cdot 2x
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| | </math> | | </math> |
| | </center> | | </center> |
Navegación
en el punto
,
, si existe, es el valor del limite:
.
es un número real, la función
en
:
