Ecuaciones del plano
De Wikillerato
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Tabla de contenidos |
Introducción
Un plano queda determinado cuando se conoce un punto del mismo y dos vectores y no nulos y linealmente independientes que éstan contenidos en el plano, llamados vectores directores del plano.
Existen diferentes formas de expresar la ecuación de un plano. Las describimos a continuación.
Ecuación en forma vectorial
El plano que contiene al punto y tiene como vectores directores los vectores y es el conjunto de puntos del espacio que verifican la siguiente relación vectorial:
con
Teniendo en cuenta que , resulta:
expresión que se conoce como ecuación vectorial del plano.
Ecuación en forma paramétrica
Desarrollando la ecuación vectorial expresada en componentes, resulta:
expresión que se conoce como ecuación en forma paramétrica.
Ecuación en forma general
Como
en el determinante
la primera columna de mierda ke no sirve para nada porke cualkier persona viene y edita la info... es combinación lineal de la segunda y de la tercera. Por tanto dicho
determinante es cero. Desarrollando el determinante, agrupando términos e igualando a 0,
nos queda un ecuación de la forma :
que es la ecuación en forma general, cartesiana o implícita del plano. ( son numeros reales ).
Ecuación normal
Otra forma de determinar la ecuación de un plano es conociendo un punto del mismo y un vector normal al plano.
Sea un punto dado del plano y sea un vector normal a . Entonces, para cualquier punto del plano , el vector es perpendicular a , de manera que
expresión que recibe el nombre de ecuación normal del plano. A partir de la ecuación normal del plano se puede obtener muy fácilmente su ecuación general:
donde .
Ejemplo
Determinemos las ecuaciones del plano que contiene a los puntos:
Tanto
como
son vectores directores del plano , de manera que
, es decir
es la ecuación vectorial del plano . De la cual se deduce la ecuación de en forma paramétrica:
Como es una combinación lineal de y de se ha de tener que
de lo que se deduce la ecuación de en forma general, cartesiana o implícita: