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Definición de derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 32: Línea 32:
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
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-
&nbsp; no es derivable en &nbsp;
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&nbsp; NO es derivable en &nbsp;
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x = a
x = a
Línea 114: Línea 114:
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==Ejemplo==
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La función &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left| \, x \, \right|
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&nbsp; NO es derivable en &nbsp;
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x = 0
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&nbsp; ya que no existe el limite
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\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
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\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h}
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No existe por que
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\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \,
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\mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}
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y por que
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\lim_{h \to 0^-} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} = -1 \neq 1 =
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\lim_{h \to 0^+} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}
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[[Category:Matemáticas]]
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Revisión de 10:27 2 ene 2011

La derivada de la función   \mathrm{f}   en el punto   x \, = \, a , si existe, es el valor del limite:


\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> <p>.


Si este limite es un número real, la función   \mathrm{f}   es derivable en   x \, = \, a . Si el límite anterior no es un número real o el límite no existe, la función   \mathrm{f}   NO es derivable en   x = a .


La derivada de la función \mathrm{f} en   x = a   se denota por   \mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, a \, </pre> <p>\right) .


\mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, a \, </pre> <p>\right) = \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> <p>.


Ejemplo


Calculemos la derivada de   \mathrm{f} \left( </p> <pre> \, x \, </pre> <p>\right) \, = \, x^2   en   x \, = \, 2 :


\mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, 2 \, </pre> <p>\right) \, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac </pre> <p>{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,


\, = \, \lim_{h \to 0} \frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \left( </p> <pre> \, h \, + 4 \, \, \right) \, = \, 4 </pre> <p>


Ejemplo


La función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \left| \, x \, \right|   NO es derivable en   x = 0   ya que no existe el limite

\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} </pre> <p>

No existe por que

\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 0 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 0 \, \right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} </pre> <p>

y por que

\lim_{h \to 0^-} \frac{\left| \, h \, \right|}{h} = -1 \neq 1 = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left| \, h \, \right|}{h}

Obtenido de "http://wikillerato.org/Definici%C3%B3n_de_derivada.html"
   
 
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