Función derivada y derivadas sucesivas

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Revisión de 15:56 12 ene 2007

$\mathrm{f}$ en el punto $x \, = \, a$ , $\mathrm{f}^\prime \left( <pre> \, a \, </pre> \right)$ , si existe, es el valor del limite:

$\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> $ .

Si $\mathrm{f}^\prime \left( <pre> \, a \, </pre> \right)$ es un número real, la función $\mathrm{f}$ es derivable en $x \, = \, a$ . Si $\mathrm{f}^\prime \left( <pre> \, a \, </pre> \right)$ no es un número real o el límite no existe, la función $\mathrm{f}$ no es derivable en dicho punto.

Ejemplo

Calculemos la derivada de $\mathrm{f} \left( <pre> \, x \, </pre> \right) \, = \, x^2$ en $x \, = \, 2$ :

$\mathrm{f}^\prime \left( <pre> \, 2 \, </pre> \right) \, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \, <pre> \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac </pre> {\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,$

$\, = \, \lim_{h \to 0} \frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \left( <pre> \, h \, + 4 \, \, \right) \, = \, 4 </pre> $

%% }}} %% {{{ =tasas de variación

Tasa de variación media

Supongamos que un coche de formula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:

En este caso, la posición, $y$ , se puede ver como una función, $\mathrm{f}$ , del tiempo, $x$ ; es decir:

$y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante $9$ al instante $13.4$ es:

$\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \, <pre> \right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5 </pre> $

En general, la tasa de variación media de la función $\mathrm{f}$ en $\left[ <pre> \, a, \, b \, </pre> \right]$ se define como el cociente:

$\frac{\mathrm{f} \left( \, b \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a \, <pre> \right)}{b \, - \, a} </pre> $

Tasa de variación instantánea

La tasa de variación instantánea de la función $f$ en el punto $x \, = \, a$ se obtiene haciendo tender $b$ a $a$ en la tasa de variación media de la función $f$ en el intervalo $\left[ <pre> \, a, \, b \, </pre> \right]$ ; por tanto, la tasa de variación instantánea de la función $f$ en el punto $x \, = \, a$ es

$\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}$

que es precisamente la derivada de la función $f$ en el punto $x \, = \, a$ .

NOTA: En el límite anterior $b \, = \, a \, + \, h$ .

%% }}} %% {{{ =Derivadas de las funciones elementales

%% }}} %% {{{ =función derivada

Si $\mathrm{f}$ es una función derivable en el intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, \right) \subset R </pre> $ , la función derivada de $\mathrm{f}$ es la que a cada $x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ le hace corresponder la derivada de $\mathrm{f}$ en dicho punto. Esta función se designa por $\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)$ .

Una función $\mathrm{f}$ es derivable en el intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ si lo es en cada punto del intervalo. [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] a la función derivada de

$\mathrm{f}^\prime$ . Esta función se denota por $\mathrm{f}^{\prime \prime}$ .

$\mathrm{f}^{\prime \prime \prime}$ es la derivada tercera de $\mathrm{f}$ y, en general, $\mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}$ es la derivada n-ésima de $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ .

%% }}} %% {{{ =significado geométrico de la derivada

Consideremos la grafica de una función $\mathrm{f}$ . Tomemos un punto $A \, = \, \left( <pre> \, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, \right) \, </pre> \right)$ en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos $A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots$ en la grafica de $\mathrm{f}$ . Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de $A$ y que cuando $n \to \infty$ , $A_n \to A$ .

La recta que pasa por los puntos $A$ y $A_n$ es una secante a la grafica de la función $\mathrm{f}$ . De esta forma, hay una secante para cada punto $A_n$ . Sea $s_n$ la recta que pasa por $A$ y por $A_n$ .

Cuando $n$ tiende a $\infty$ , $s_n$ tiende a la tangente a la grafica de la función $\mathrm{f}$ en el punto $A$ , $t$ :

$s_n \to t$

Habria de esperar, pues, que la pendiente de $s_n$ tienda a la pendiente de $t$ cuando $n$ tiende a $\infty$ . Como la pendiente de $s_n$ es una tasa de variación media:

$\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, <pre> \right)}{A_{n,x} \, - \, A_x} </pre> $

( $A_{n,x} \, =$ abcisa de $A_n$ )

su limite cuando $n \to \infty$ es una tasa de variación instantánea, la derivada de $\mathrm{f}$ en $A_x$ ; es decir la pendiente de $t$ es la derivada de $\mathrm{f}$ en $A_x$ .