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Definición de derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
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La derivada de la función  
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==Función estrictamente creciente en un intervalo==
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Una función &nbsp;
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\mathrm{f}
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; en el punto &nbsp;
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x \, = \, a
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&nbsp; es '''''estrictamente creciente''''' en un intervalo &nbsp;
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\mathrm{f}^\prime
 
\left(
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\, a \,
+
\, a, \, b \,
\right)
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, si existe, es el valor del limite:
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, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
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\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
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\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
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\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
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\, - \, x_1} > 0
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Cuando en la grafica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha
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tambien nos movemos hacia arriba:
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x_2 > x_1 \Rightarrow
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\mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)
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&nbsp; es estrictamente creciente en el punto de abcisa &nbsp;
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x \, = \, a
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&nbsp; si existe algun número positivo &nbsp;
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&nbsp; tal que &nbsp;
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&nbsp; es estrictamente creciente en el intervalo &nbsp;
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\mathrm{f}^\prime
 
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\, a \,
+
\, x \, - \, h, \, x \, + \, h \,
\right)
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&nbsp; es un número real, la función &nbsp;
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De esta esta definición se deduce que si &nbsp;
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\mathrm{f}
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&nbsp; es derivable en &nbsp;
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&nbsp; es [[Definición de derivada|derivable]] en &nbsp;
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x \, = \, a
x \, = \, a
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f
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x \, = \, a
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, entonces &nbsp;
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\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0
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Si &nbsp;
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==Función creciente en un intervalo==
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Una función &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; es '''''creciente''''' en un intervalo &nbsp;
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\mathrm{f}^\prime
 
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\, a \,
+
\, a, \, b \,
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&nbsp; no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
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, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
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==Ejemplo==
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\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
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\, - \, x_1} \ge 0
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Calculemos la derivada de &nbsp;
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==Función estrictamente decreciente en un intervalo==
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Una función &nbsp;
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\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
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&nbsp; es '''''estrictamente decreciente''''' en un intervalo &nbsp;
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-
\mathrm{f}
 
\left(
\left(
-
\, x \,
+
\, a, \, b \,
\right)
\right)
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\, = \, x^2
 
</math>
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&nbsp; en &nbsp;
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, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
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<math>
-
x \, = \, 2
+
x_1
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&nbsp; y &nbsp;
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x_2
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Línea 78: Línea 170:
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\mathrm{f}^\prime
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\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
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\, - \, x_1} < 0
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Cuando en la grafica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha
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tambien nos movemos hacia abajo:
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x_2 > x_1 \Rightarrow
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\mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) < \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)
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Una función &nbsp;
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f
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&nbsp; es estrictamente decreciente en el punto de abcisa &nbsp;
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x \, = \, a
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&nbsp; si existe algun número positivo &nbsp;
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h
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&nbsp; tal que &nbsp;
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\mathrm{f}
 +
 
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&nbsp; es estrictamente decreciente en el intervalo &nbsp;
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<math>
\left(
\left(
-
\, 2 \,
+
\, x \, - \, h, \, x \, + \, h \,
\right)
\right)
-
\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \,
+
</math>.
-
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac
+
 
-
{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,
+
<br/>
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De esta esta definición se deduce que si &nbsp;
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<math>
 +
\mathrm{f}
</math>
</math>
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&nbsp; es [[Definición de derivada|derivable]] en &nbsp;
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<math>
 +
x \, = \, a
 +
</math>
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&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
f
 +
</math>
 +
&nbsp; es estrictamente decreciente en el punto de abcisa &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, a
 +
</math>
 +
, entonces &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0
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</math>.
<br/>
<br/>
 +
==Función decreciente en un intervalo==
 +
 +
<br/>
 +
 +
Una función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>
 +
&nbsp; es '''''decreciente''''' en un intervalo &nbsp;
<math>
<math>
-
\, = \, \lim_{h \to 0}
 
-
\frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
 
-
\lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0}
 
\left(
\left(
-
\, h \, + 4 \, \,
+
\, a, \, b \,
-
\right)
+
\right)
-
\, = \, 4
+
</math>
 +
, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
 +
<math>
 +
x_1
 +
</math>
 +
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
x_2
 +
</math>
 +
, se cumple que:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
 +
\, - \, x_1} \le 0
</math>
</math>
</center>
</center>

Revisión de 01:35 15 ene 2007

Tabla de contenidos

Función estrictamente creciente en un intervalo


Una función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   es estrictamente creciente en un intervalo   \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) , si para dos valores cualesquiera del intervalo,   x_1   y   x_2 , se cumple que:


\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 </p> <pre> \, - \, x_1} > 0 </pre> <p>


 


Imagen:funcion4.png


Cuando en la grafica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:


x_2 > x_1 \Rightarrow \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)


Una función   f   es estrictamente creciente en el punto de abcisa   x \, = \, a   si existe algun número positivo   h   tal que   \mathrm{f} </p><p>   es estrictamente creciente en el intervalo   \left( </p> <pre> \, x \, - \, h, \, x \, + \, h \, </pre> <p>\right) .


De esta esta definición se deduce que si   \mathrm{f}   es derivable en   x \, = \, a   y   f   es estrictamente creciente en el punto de abcisa   x \, = \, a , entonces   \mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0 .


Función creciente en un intervalo


Una función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   es creciente en un intervalo   \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) , si para dos valores cualesquiera del intervalo,   x_1   y   x_2 , se cumple que:


\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 </p> <pre> \, - \, x_1} \ge 0 </pre> <p>


Función estrictamente decreciente en un intervalo


Una función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   es estrictamente decreciente en un intervalo   \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) , si para dos valores cualesquiera del intervalo,   x_1   y   x_2 , se cumple que:


\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 </p> <pre> \, - \, x_1} < 0 </pre> <p>


 


Imagen:funcion5.png


Cuando en la grafica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia abajo:

x_2 > x_1 \Rightarrow \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) < \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)


Una función   f   es estrictamente decreciente en el punto de abcisa   x \, = \, a   si existe algun número positivo   h   tal que   \mathrm{f} </p><p>   es estrictamente decreciente en el intervalo   \left( </p> <pre> \, x \, - \, h, \, x \, + \, h \, </pre> <p>\right) .


De esta esta definición se deduce que si   \mathrm{f}   es derivable en   x \, = \, a   y   f   es estrictamente decreciente en el punto de abcisa   x \, = \, a , entonces   \mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0 .


Función decreciente en un intervalo


Una función   \mathrm{f} \left( \, x \, \right)   es decreciente en un intervalo   \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right) , si para dos valores cualesquiera del intervalo,   x_1   y   x_2 , se cumple que:


\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 </p> <pre> \, - \, x_1} \le 0 </pre> <p>


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