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Definición de derivada

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
Línea 1: Línea 1:
-
==Función estrictamente creciente en un intervalo==
+
La derivada de la función  
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; en el punto &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, a
 +
</math>
 +
, &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^\prime
 +
\left(
 +
\, a \,
 +
\right)
 +
</math>
 +
, si existe, es el valor del limite:
<br/>
<br/>
-
Una función &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h}
 +
</math>.
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Si &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^\prime
 +
\left(
 +
\, a \,
 +
\right)
</math>
</math>
-
&nbsp; es '''''estrictamente creciente''''' en un intervalo &nbsp;
+
&nbsp; es un número real, la función &nbsp;
<math>
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; es derivable en &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, a
 +
</math>.
 +
Si &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^\prime
\left(
\left(
-
\, a, \, b \,
+
\, a \,
\right)
\right)
</math>
</math>
-
, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
+
&nbsp; no es un número real o el límite no existe, la función &nbsp;
<math>
<math>
-
x_1
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
&nbsp; no es derivable en dicho punto.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Ejemplo==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Calculemos la derivada de &nbsp;
<math>
<math>
-
x_2
+
\mathrm{f}
 +
\left(
 +
\, x \,
 +
\right)
 +
\, = \, x^2
</math>
</math>
-
, se cumple que:
+
&nbsp; en &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, 2
 +
</math>:
<br/>
<br/>
Línea 27: Línea 78:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
+
\mathrm{f}^\prime
-
\, - \, x_1} > 0
+
\left(
 +
\, 2 \,
 +
\right)
 +
\, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \,
 +
\mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac
 +
{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,
 +
</math>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<math>
 +
\, = \, \lim_{h \to 0}
 +
\frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \,
 +
\lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0}
 +
\left(
 +
\, h \, + 4 \, \,
 +
\right)
 +
\, = \, 4
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 34: Línea 102:
<br/>
<br/>
-
&nbsp;
+
[[Category:Matemáticas]]
 +
 
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =tasas de variación
 +
 
 +
==Tasa de variación media==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A
 +
distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la
 +
siguiente tabla:
<br/>
<br/>
<center>
<center>
-
[[Imagen:funcion4.png]]
+
[[Imagen:tabla7.png]]
</center>
</center>
<br/>
<br/>
-
Cuando en la grafica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha
+
En este caso, la posición, &nbsp;
-
tambien nos movemos hacia arriba:
+
<math>
 +
y
 +
</math>
 +
, se puede ver como una función, &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
, del tiempo, &nbsp;
 +
<math>
 +
x
 +
</math>; es decir:
<br/>
<br/>
Línea 51: Línea 140:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x_2 > x_1 \Rightarrow
+
y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)
-
\mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)
+
</math>
</math>
</center>
</center>
Línea 58: Línea 146:
<br/>
<br/>
-
Una función &nbsp;
+
La '''''tasa de variación media''''' de la posición en el intervalo de tiempo desde el
 +
instante &nbsp;
<math>
<math>
-
f
+
9
</math>
</math>
-
&nbsp; es estrictamente creciente en el punto de abcisa &nbsp;
+
&nbsp; al instante &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
13.4
</math>
</math>
-
&nbsp; si existe algun número positivo &nbsp;
+
&nbsp; es:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
-
h
+
\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \,
 +
\right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5
</math>
</math>
-
&nbsp; tal que &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
En general, la tasa de variación media de la función &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
-
 
</math>
</math>
-
&nbsp; es estrictamente creciente en el intervalo &nbsp;
+
&nbsp; en &nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
\left[
-
\, x \, - \, h, \, x \, + \, h \,
+
\, a, \, b \,
-
\right)
+
\right]
-
</math>.
+
</math>
 +
&nbsp; se define como el cociente:
<br/>
<br/>
-
De esta esta definición se deduce que si &nbsp;
+
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f}
+
\frac{\mathrm{f} \left( \, b \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a \,
 +
\right)}{b \, - \, a}
</math>
</math>
-
&nbsp; es [[Definición de derivada|derivable]] en &nbsp;
+
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Tasa de variación instantánea==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
f
 +
</math>
 +
&nbsp; en el punto &nbsp;
<math>
<math>
x \, = \, a
x \, = \, a
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
&nbsp; se obtiene haciendo tender &nbsp;
 +
<math>
 +
b
 +
</math>
 +
&nbsp; a &nbsp;
 +
<math>
 +
a
 +
</math>
 +
&nbsp; en la '''''tasa de variación media''''' de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
f
 +
</math>
 +
&nbsp; en el intervalo &nbsp;
 +
<math>
 +
\left[
 +
\, a, \, b \,
 +
\right]
 +
</math>; por tanto, la '''''tasa de variación instantánea''''' de la función &nbsp;
<math>
<math>
f
f
</math>
</math>
-
&nbsp; es estrictamente creciente en el punto de abcisa &nbsp;
+
&nbsp; en el punto &nbsp;
<math>
<math>
x \, = \, a
x \, = \, a
</math>
</math>
-
, entonces &nbsp;
+
&nbsp; es
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
<math>
<math>
-
\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0
+
\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
que es precisamente la [[Definición de derivada|derivada]] de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
f
 +
</math>
 +
&nbsp; en el punto &nbsp;
 +
<math>
 +
x \, = \, a
</math>.
</math>.
<br/>
<br/>
-
==Función creciente en un intervalo==
+
NOTA: En el límite anterior &nbsp;
 +
<math>
 +
b \, = \, a \, + \, h
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
Una función &nbsp;
+
[[Category:Matemáticas]]
 +
 
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =Derivadas de las funciones elementales
 +
 
 +
<center>
 +
[[Imagen:tablaDeDerivadas.png]]
 +
</center>
 +
 
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =función derivada
 +
 
 +
Si &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es '''''creciente''''' en un intervalo &nbsp;
+
&nbsp; es una función derivable en el intervalo &nbsp;
<math>
<math>
 +
\left(
 +
\, a, \, b \,
 +
\right)
 +
\subset R
 +
</math>
 +
, la '''''función derivada''''' de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; es la que a cada &nbsp;
 +
<math>
 +
x \in
\left(
\left(
\, a, \, b \,
\, a, \, b \,
\right)
\right)
</math>
</math>
-
, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
+
&nbsp; le hace corresponder la [[Definición de derivada|derivada]] de &nbsp;
<math>
<math>
-
x_1
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
&nbsp; en dicho punto. Esta función se designa por &nbsp;
<math>
<math>
-
x_2
+
\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
 +
</math>.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Una función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; es '''''derivable''''' en el intervalo &nbsp;
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, a, \, b \,
 +
\right)
</math>
</math>
-
, se cumple que:
+
&nbsp; si lo es en cada punto del intervalo.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
Llamamos '''''derivada de segundo orden''''' de &nbsp;
<math>
<math>
-
\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
+
\mathrm{f}
-
\, - \, x_1} \ge 0
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; a la función derivada de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^\prime
 +
</math>.
 +
Esta función se denota por &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^{\prime \prime}
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
==Función estrictamente decreciente en un intervalo==
+
<math>
 +
\mathrm{f}^{\prime \prime \prime}
 +
</math>
 +
&nbsp; es la '''''derivada tercera''''' de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; y, en general, &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}
 +
</math>
 +
&nbsp; es la '''''derivada n-ésima''''' de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
 +
</math>: &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}
 +
</math>
 +
&nbsp; es la función derivada de &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}^{\left( \, n \, - \, 1 \, \right)}
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
Una función &nbsp;
+
[[Category:Matemáticas]]
 +
 
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =significado geométrico de la derivada
 +
 
 +
Consideremos la grafica de una función &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es '''''estrictamente decreciente''''' en un intervalo &nbsp;
+
. Tomemos un punto &nbsp;
<math>
<math>
 +
A \, = \,
\left(
\left(
-
\, a, \, b \,
+
\, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, \right) \,
\right)
\right)
</math>
</math>
-
, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
+
&nbsp; en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos &nbsp;
<math>
<math>
-
x_1
+
A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots
</math>
</math>
-
&nbsp; y &nbsp;
+
&nbsp; en la grafica de &nbsp;
<math>
<math>
-
x_2
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
, se cumple que:
+
. Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; y que cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
n \to \infty
 +
</math>
 +
, &nbsp;
 +
<math>
 +
A_n \to A
 +
</math>.
<br/>
<br/>
-
<center>
+
La recta que pasa por los puntos &nbsp;
<math>
<math>
-
\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
+
A
-
\, - \, x_1} < 0
+
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; y &nbsp;
 +
<math>
 +
A_n
 +
</math>
 +
&nbsp; es una secante a la grafica de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>. De esta forma, hay una secante para cada punto &nbsp;
 +
<math>
 +
A_n
 +
</math>. Sea &nbsp;
 +
<math>
 +
s_n
 +
</math>
 +
&nbsp; la recta que pasa por &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>
 +
&nbsp; y por &nbsp;
 +
<math>
 +
A_n
 +
</math>
 +
.
<br/>
<br/>
-
&nbsp;
+
<center>
 +
[[Imagen:tangente.png]]
 +
</center>
<br/>
<br/>
 +
Cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>
 +
, &nbsp;
 +
<math>
 +
s_n
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a la tangente a la grafica de la función &nbsp;
 +
<math>
 +
\mathrm{f}
 +
</math>
 +
&nbsp; en el punto &nbsp;
 +
<math>
 +
A
 +
</math>, &nbsp;
 +
<math>
 +
t
 +
</math>:
 +
 +
<br/>
 +
<center>
<center>
-
[[Imagen:funcion5.png]]
+
<math>
 +
s_n \to t
 +
</math>
</center>
</center>
<br/>
<br/>
-
Cuando en la grafica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha
+
Habria de esperar, pues, que la pendiente de &nbsp;
-
tambien nos movemos hacia abajo:
+
<math>
 +
s_n
 +
</math>
 +
&nbsp; tienda a la pendiente de &nbsp;
 +
<math>
 +
t
 +
</math>
 +
&nbsp; cuando &nbsp;
 +
<math>
 +
n
 +
</math>
 +
&nbsp; tiende a &nbsp;
 +
<math>
 +
\infty
 +
</math>. Como la pendiente de &nbsp;
 +
<math>
 +
s_n
 +
</math>
 +
&nbsp; es una [[La derivada como una tasa de variación instantánea|tasa de variación
 +
media]]:
 +
 
 +
<br/>
<center>
<center>
<math>
<math>
-
x_2 > x_1 \Rightarrow
+
\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \,
-
\mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) < \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)
+
\right)}{A_{n,x} \, - \, A_x}
</math>
</math>
 +
 +
<br/>
 +
 +
(<math>
 +
A_{n,x} \, =
 +
</math>
 +
&nbsp; abcisa de &nbsp;
 +
<math>
 +
A_n
 +
</math>)
</center>
</center>
<br/>
<br/>
-
Una función &nbsp;
+
su limite cuando &nbsp;
<math>
<math>
-
f
+
n \to \infty
</math>
</math>
-
&nbsp; es estrictamente decreciente en el punto de abcisa &nbsp;
+
&nbsp; es una [[La derivada como una tasa de variación instantánea|tasa de variación instantánea]], la [[Definición de derivada|derivada]] de &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; si existe algun número positivo &nbsp;
+
&nbsp; en &nbsp;
<math>
<math>
-
h
+
A_x
 +
</math>; es decir la pendiente de &nbsp;
 +
<math>
 +
t
</math>
</math>
-
&nbsp; tal que &nbsp;
+
&nbsp; es la derivada de &nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
-
 
</math>
</math>
-
&nbsp; es estrictamente decreciente en el intervalo &nbsp;
+
&nbsp; en &nbsp;
<math>
<math>
-
\left(
+
A_x
-
\, x \, - \, h, \, x \, + \, h \,
+
-
\right)
+
</math>.
</math>.
<br/>
<br/>
-
De esta esta definición se deduce que si &nbsp;
+
[[Category:Matemáticas]]
 +
 
 +
%% }}}
 +
%% {{{ =función derivada de las operaciones de funciones
 +
 
 +
__TOC__
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Derivada de la suma==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de la suma de dos funciones es
 +
igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \, + \, \mathrm{g} \,
 +
\right)
 +
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, + \, \mathrm{g}^\prime \,
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones.
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Derivada de la diferencia==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de la diferencia de dos funciones es
 +
igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \, - \, \mathrm{g} \,
 +
\right)
 +
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, - \, \mathrm{g}^\prime \,
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Derivada del producto==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] del producto de dos funciones,
 +
&nbsp;
<math>
<math>
\mathrm{f}
\mathrm{f}
</math>
</math>
-
&nbsp; es [[Definición de derivada|derivable]] en &nbsp;
+
&nbsp; y &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
\mathrm{g}
 +
</math>
 +
, viene dada por la fórmula:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \,
 +
\right)
 +
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, + \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime \,
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
==Derivada del cociente==
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] del cociente &nbsp;
 +
<math>
 +
\frac{f}{g}
 +
</math>
 +
&nbsp; viene dada por la fórmula:
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
<center>
 +
<math>
 +
\left(
 +
\, \frac{f}{g} \,
 +
\right)
 +
^\prime \, = \, \frac{\mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, - \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime}{\mathrm{g}^2}
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</center>
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[[Category:Matemáticas]]
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%% }}}
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%% {{{ =composición de funciones
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El componer dos funciones &nbsp;
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\mathrm{f}
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&nbsp; y &nbsp;
&nbsp; y &nbsp;
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-
f
+
\mathrm{g}
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&nbsp; es estrictamente decreciente en el punto de abcisa &nbsp;
+
&nbsp; consiste en aplicar &nbsp;
<math>
<math>
-
x \, = \, a
+
g
</math>
</math>
-
, entonces &nbsp;
+
&nbsp; al resultado de calcular &nbsp;
<math>
<math>
-
\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
-
</math>.
+
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, es decir:
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==Función decreciente en un intervalo==
+
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R \stackrel{\mathrm{f}}{\longrightarrow} R \stackrel{\mathrm{g}}{\longrightarrow} R
 +
</math>
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Una función &nbsp;
 
<math>
<math>
-
\mathrm{f} \left( \, x \, \right)
+
x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \longrightarrow \mathrm{g}
 +
\left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
</math>
</math>
-
&nbsp; es '''''decreciente''''' en un intervalo &nbsp;
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La [[Función derivada y derivadas sucesivas|derivada]] de &nbsp;
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-
\left(
+
\mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
-
\, a, \, b \,
+
-
\right)
+
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, si para dos valores cualesquiera del intervalo, &nbsp;
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&nbsp; viene dada por la fórmula:
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\left(
 +
\, \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
 +
\right)
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^\prime \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
 +
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resultado que se conoce como '''''regla de la cadena'''''.
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==Ejemplo==
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Calculemos la derivada de
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 +
 
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<math>
<math>
-
x_1
+
\mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \cos \left( \, x^2 \, \right)
</math>
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-
&nbsp; y &nbsp;
+
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&nbsp;
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-
x_2
+
\mathrm{h}
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, se cumple que:
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&nbsp; es la composición de dos funciones:
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\left\{
 +
\begin{array}[c]{rcl}
 +
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, & = & \, x^2
 +
\\
 +
\mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, & = & \, \cos \left( \, x \, \right)
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
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Es decir
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\mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
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 +
 
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Para derivar &nbsp;
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<math>
 +
\mathrm{h} \left( \, x \, \right)
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 +
&nbsp; utilizamos la regla de la cadena:
 +
 
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<br/>
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<math>
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\mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)
 +
</math>
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Como
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<math>
 +
\left\{
 +
\begin{array}[c]{rcl}
 +
\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, 2x
 +
\\
 +
\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, -\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)
 +
\end{array}
 +
\right.
 +
</math>
 +
</center>
 +
 
 +
<br/>
 +
 
 +
se tiene que
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<br/>
Línea 276: Línea 793:
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<center>
<math>
<math>
-
\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2
+
\mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left(
-
\, - \, x_1} \le 0
+
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot 2x \, = \, -\mathrm{sen} \left(
 +
\, x^2 \, \right) \cdot 2x
</math>
</math>
</center>
</center>

Revisión de 01:38 15 ene 2007

La derivada de la función   \mathrm{f}   en el punto   x \, = \, a ,   \mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, a \, </pre> <p>\right) , si existe, es el valor del limite:


\lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, a \, \right)}{h} </pre> <p>.


Si   \mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, a \, </pre> <p>\right)   es un número real, la función   \mathrm{f}   es derivable en   x \, = \, a . Si   \mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, a \, </pre> <p>\right)   no es un número real o el límite no existe, la función   \mathrm{f}   no es derivable en dicho punto.


Ejemplo


Calculemos la derivada de   \mathrm{f} \left( </p> <pre> \, x \, </pre> <p>\right) \, = \, x^2   en   x \, = \, 2 :


\mathrm{f}^\prime \left( </p> <pre> \, 2 \, </pre> <p>\right) \, = \, \lim_{h \to 0} \frac{\mathrm{f}\left( \, 2 \, + \, h \, \right) \, - \, </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, 2 \, \right)}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac </pre> <p>{\left( \, 2 \, + \, h \, \right)^2 \, - \, 2^2}{h} \, = \,


\, = \, \lim_{h \to 0} \frac {\left( \, 4 \, + \, 4h \, + \, h^2 \, \right) \, - \, 4}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \frac {4h \, + \, h^2}{h} \, = \, \lim_{h \to 0} \left( </p> <pre> \, h \, + 4 \, \, \right) \, = \, 4 </pre> <p>


%% }}} %% {{{ =tasas de variación

Tasa de variación media


Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:


Imagen:tabla7.png


En este caso, la posición,   y , se puede ver como una función,   \mathrm{f} , del tiempo,   x ; es decir:


y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)


La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante   9   al instante   13.4   es:


\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \, </p> <pre> \right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5 </pre> <p>


En general, la tasa de variación media de la función   \mathrm{f}   en   \left[ </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right]   se define como el cociente:


\frac{\mathrm{f} \left( \, b \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, a \, </p> <pre> \right)}{b \, - \, a} </pre> <p>


Tasa de variación instantánea


La tasa de variación instantánea de la función   f   en el punto   x \, = \, a   se obtiene haciendo tender   b   a   a   en la tasa de variación media de la función   f   en el intervalo   \left[ </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right] ; por tanto, la tasa de variación instantánea de la función   f   en el punto   x \, = \, a   es


\lim_{h \to 0}\frac{\mathrm{f}\left( \, a \, + \, h \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, a \, \right)}{h}


que es precisamente la derivada de la función   f   en el punto   x \, = \, a .


NOTA: En el límite anterior   b \, = \, a \, + \, h .


%% }}} %% {{{ =Derivadas de las funciones elementales

Imagen:tablaDeDerivadas.png

%% }}} %% {{{ =función derivada

Si   \mathrm{f}   es una función derivable en el intervalo   \left( </p> <pre> \, a, \, b \, \right) \subset R </pre> <p> , la función derivada de   \mathrm{f}   es la que a cada   x \in \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right)   le hace corresponder la derivada de   \mathrm{f}   en dicho punto. Esta función se designa por   \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) .


Una función   \mathrm{f}   es derivable en el intervalo   \left( </p> <pre> \, a, \, b \, </pre> <p>\right)   si lo es en cada punto del intervalo.


Llamamos derivada de segundo orden de   \mathrm{f}   a la función derivada de   \mathrm{f}^\prime . Esta función se denota por   \mathrm{f}^{\prime \prime} .


\mathrm{f}^{\prime \prime \prime}   es la derivada tercera de   \mathrm{f}   y, en general,   \mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}   es la derivada n-ésima de   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) :   \mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}   es la función derivada de   \mathrm{f}^{\left( \, n \, - \, 1 \, \right)} .


%% }}} %% {{{ =significado geométrico de la derivada

Consideremos la grafica de una función   \mathrm{f} . Tomemos un punto   A \, = \, \left( </p> <pre> \, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, \right) \, </pre> <p>\right)   en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos   A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots   en la grafica de   \mathrm{f} . Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de   A   y que cuando   n \to \infty ,   A_n \to A .


La recta que pasa por los puntos   A   y   A_n   es una secante a la grafica de la función   \mathrm{f} . De esta forma, hay una secante para cada punto   A_n . Sea   s_n   la recta que pasa por   A   y por   A_n .


Imagen:tangente.png


Cuando   n   tiende a   \infty ,   s_n   tiende a la tangente a la grafica de la función   \mathrm{f}   en el punto   A ,   t :


s_n \to t


Habria de esperar, pues, que la pendiente de   s_n   tienda a la pendiente de   t   cuando   n   tiende a   \infty . Como la pendiente de   s_n   es una tasa de variación media:


\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, </p> <pre> \right)}{A_{n,x} \, - \, A_x} </pre> <p>


( A_{n,x} \, =   abcisa de   A_n )


su limite cuando   n \to \infty   es una tasa de variación instantánea, la derivada de   \mathrm{f}   en   A_x ; es decir la pendiente de   t   es la derivada de   \mathrm{f}   en   A_x .


%% }}} %% {{{ =función derivada de las operaciones de funciones

Tabla de contenidos



Derivada de la suma


La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones: 



\left(
 \, \mathrm{f} \, + \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, + \, \mathrm{g}^\prime \,


Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones.


Derivada de la diferencia


La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones: 



\left(
 \, \mathrm{f} \, - \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, - \, \mathrm{g}^\prime \,


Derivada del producto


La derivada del producto de dos funciones,   \mathrm{f}   y   \mathrm{g} , viene dada por la fórmula: 



\left(
 \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, + \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime \,


Derivada del cociente


La derivada del cociente   \frac{f}{g}   viene dada por la fórmula: 



\left(
 \, \frac{f}{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \frac{\mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, - \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime}{\mathrm{g}^2}


%% }}} %% {{{ =composición de funciones

El componer dos funciones   \mathrm{f}   y   \mathrm{g}   consiste en aplicar   g   al resultado de calcular   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) , es decir:


R \stackrel{\mathrm{f}}{\longrightarrow} R \stackrel{\mathrm{g}}{\longrightarrow} R


x \longrightarrow \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \longrightarrow \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)


La derivada de   \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)   viene dada por la fórmula: 



\left(
   \, \mathrm{g} \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)


resultado que se conoce como regla de la cadena.


Ejemplo


Calculemos la derivada de


\mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \cos \left( \, x^2 \, \right)


  \mathrm{h}   es la composición de dos funciones:


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, & = & \, x^2 \\ \mathrm{g} \left( \, x \, \right) \, & = & \, \cos \left( \, x \, \right) \end{array} </pre> <p>\right.


Es decir


\mathrm{h} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g} \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right)


Para derivar   \mathrm{h} \left( \, x \, \right)   utilizamos la regla de la cadena:


</p> <pre> \mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{g}^\prime \left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) </pre> <p>


Como


\left\{ </p> <pre> \begin{array}[c]{rcl} \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, 2x \\ \mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right) \, & = & \, -\mathrm{sen} \left( \, x \, \right) \end{array} </pre> <p>\right.


se tiene que


\mathrm{h}^\prime \left( \, x \, \right) \, = \, -\mathrm{sen} \left( </p> <pre> \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right) \cdot 2x \, = \, -\mathrm{sen} \left( \, x^2 \, \right) \cdot 2x </pre> <p>


Obtenido de "http://wikillerato.org/Definici%C3%B3n_de_derivada.html"
   
 
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