Significado geométrico de la derivada

De Wikillerato

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Consideremos la grafica de una función $\mathrm{f}$ . Tomemos un punto $A \, = \, \left( </p> <pre> \, A_x, \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, \right) \, </pre> <p>\right)$ en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos $A_1, \, A_2, \, A_3, \, \ldots$ en la grafica de $\mathrm{f}$ . Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de $A$ y que cuando $n \to \infty$ , $A_n \to A$ .

La recta que pasa por los puntos $A$ y $A_n$ es una secante a la grafica de la función $\mathrm{f}$ . De esta forma, hay una secante para cada punto $A_n$ . Sea $s_n$ la recta que pasa por $A$ y por $A_n$ .

Cuando $n$ tiende a $\infty$ , $s_n$ tiende a la tangente a la grafica de la función $\mathrm{f}$ en el punto $A$ , $t$ :

$s_n \to t$

Habria de esperar, pues, que la pendiente de $s_n$ tienda a la pendiente de $t$ cuando $n$ tiende a $\infty$ . Como la pendiente de $s_n$ es una tasa de variación media:

$\frac{\mathrm{f} \left( \, A_{n,x} \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, A_x \, </p> <pre> \right)}{A_{n,x} \, - \, A_x} </pre> <p>$

( $A_{n,x} \, =$ abcisa de $A_n$ )

su limite cuando $n \to \infty$ es una tasa de variación instantánea, la derivada de $\mathrm{f}$ en $A_x$ ; es decir la pendiente de $t$ es la derivada de $\mathrm{f}$ en $A_x$ .