Ecuación de las ondas armónicas

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a) Doble periodicidad

Pero veamos cómo varía, en función del tiempo, la magnitud característica de la perturbación que se propaga en el medio. Para ello consideraremos, un punto M, situado en la abcisa x del medio (siendo OM la distancia al origen de la cuerda o al foco emisor en la superficie del agua)

Sabemos que $v= \frac{x}{t}$ siendo t el tiempo que tarda la perturbación en alcanzar el punto x.

Pero también

$v = \frac{ \lambda}{T} = \lambda f$ , de donde $\lambda = v T$

Como ya se vio en el estudio del movimiento oscilatorio armónico, el punto $O$ , lugar donde situamos al foco emisor, oscila de acuerdo con la ecuación:

$y = A \mbox { } sen (\omega t + \varphi_0)$

Para hacer más sencillos los cálculos consideraremos momentáneamente que $\varphi_0 = 0$ .

$imagen$

Observamos que cuando ha transcurrido un tiempo igual $T$ , en la cuerda se ha descrito una onda completa, el origen $O$ vuelve a vibrar entre $T$ y $T + \frac {T} {4}$ , del mismo modo que entre $0$ y $\frac {T} {4}$ , luego cada nuevo periodo $T$ , un punto de la cuerda repite sus oscilaciones transversales. La onda es periódica en el tiempo.

De igual modo, si nos movemos a lo largo de la cuerda, se observa que al avanzar segmentos de longitud $\lambda$ los puntos a esas distancias se mueven de igual modo, decimos que se encuentran en concordancia de fase o fase. La onda es periódica con relación al espacio.

El movimiento tiene pues una doble periodicidad:

- La onda es periódica en el tiempo, pues repite su vibración cada tiempo $T$ .

- La onda es periódica en el espacio, pues repite su vibración cada distancia $\lambda$ .

$imagen$

b) Ecuación de la onda

Si observamos el avance del tren de ondas, lo primero que destacamos es que el pulso inicial, tarda un tiempo $t^*$ en alcanzar el punto $M$ , el cual permanece en reposo en tanto que otros puntos ya han sido alcanzados por la perturbación.

Ese tiempo $t^*$ es tal que $0M = x=v.t^*$ , con lo cual $t^* = \frac{x}{v}$

La ecuación de las oscilaciones del punto $M$ será igual a la del origen $O$ si a t le restamos el tiempo $t^*$ que el frente tarda en alcanzarlo. Podremos escribir: