Funciones acotadas

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Ejemplo
3 Definición
4 Ejemplo
5 Propiedades
6 Ejemplo
7 Ejemplo

Definición

Se dice que un conjunto $A$ de números reales esta acotado superiormente ( inferiormente ) si existe un número real que es mayor ( menor ) o igual que todos los elementos de $A$ .

Ejemplo

El intervalo

$\left[ \, 2, \, 9 \, \right) \subset \mathbb{R}$

es un conjunto acotado superiormente porque

$9 \ge x, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right)$

Tambien esta acotado inferiormente porque

$x \ge 2, \, \forall x \in \left[ \, 2, \, 9 \, \right)$

Definición

Una función $\mathrm{f}$ esta acotada superiormente si su recorrido esta acotado superiormente, es decir, si existe un número $C$ tal que

$C \ge \mathrm{f} \left( \, x \, \right), \, \forall x$ en el dominio de $\mathrm{f}$

Analogamente, $\mathrm{f}$ esta acotada inferiormente si su recorrido esta acotado inferiormente, es decir, si existe un número $c$ tal que

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \ge c, \, \forall x$ en el dominio de $\mathrm{f}$

Una función acotada es aquella que esta acotada superior e inferiormente.

Ejemplo

El recorrido de la función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \cos \left( \, x \, \right)$ es el intervalo cerrado $\left[ \, -1, \, 1 \, \right]$ . Como este intervalo esta acotado, tanto superior como inferiormente, la función $\mathrm{f}$ esta acotada tanto superior como inferiormente, es decir, la función $</p> <pre>\mathrm{f} </pre> <p>$ esta acotada.

Propiedades

Propiedad 1

En la grafica de $f$ , el que $f$ este acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que existe una linea horizontal ( paralela al eje $X$ ), tal que ningun punto de la grafica se encuentra por encima ( debajo ) de dicha recta.

Propiedad 2

Una función $\mathrm{f}$ con una asintota vertical no puede estar acotada, pero puede estar acotada superior o inferiormente.

Mas concretamente:

Si existe un número real

$a$ , tal que $\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty$ o $\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty$ , entonces $\mathrm{f}$ no esta acotada superiormente.

Reciprocamente, si existe un número real

$a$ , tal que $\lim_{x \to a^-} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty$ o $\lim_{x \to a^+} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty$ , entonces $\mathrm{f}$ no esta acotada inferiormente.

Propiedad 3

Si $\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty$ o $\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty$ , entonces $\mathrm{f}$ NO esta acotada superiormente.

Si $\lim_{x \to \infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty$ o $\lim_{x \to -\infty} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = -\infty$ , entonces $\mathrm{f}$ NO esta acotada inferiormente.