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¿Qué es una matriz?
De Wikillerato
Tabla de contenidos |
Definición de matriz
Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
a un conjunto de números reales dispuestos en
filas y
columnas de la siguiente forma
![\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
</pre>
<p>\right)](/images/math/math-2b93b39c0505fe91a8bdffdcb317c676.png "\left(
</p>
<pre> \begin{array}[c]{cccc}
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
\\
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\\
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
</pre>
<p>\right)")
La matriz
se puede designar tambien como
donde
![\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{l}
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
\\
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
\end{array}
</pre>
<p>\right.](/images/math/math-22d889e2bbcf6ec56d6db3849ebbe730.png "\left\{
</p>
<pre> \begin{array}[c]{l}
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
\\
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
\end{array}
</pre>
<p>\right.")
Un elemento generico de la matriz se designa por
en el cual el subindice
representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice
el numero de columna.
El conjunto de matrices de dimension
se denota por:
El conjunto de matrices de dimension
, tambien llamadas de orden
, se denota por:
Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
- la diagonal principal formada por los elementos de la forma
- la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma
tales que
Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
Ejemplo: matriz rectangular
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
1 & -1 & ~~0
\\
2 & ~~3 & -1
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-77539f199b63acde3f386891e6643924.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
1 & -1 & ~~0
\\
2 & ~~3 & -1
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension
Ejemplo: matriz fila
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
-1 & 3 & 5
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-ddcaa947e9641f093ec0f8d2c0d583d9.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
-1 & 3 & 5
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
'Matriz columna' es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension
Ejemplo: matriz columna
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{c}
-1
\\
~~3
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-6e25da3e668f5afabb9e8999290f43de.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{c}
-1
\\
~~3
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota
por
.
Ejemplo: matriz nula
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-5843638a226353656790577733c70017.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
1 & -1 & ~~0
\\
0 & ~~3 & -1
\\
0 & ~~0 & ~~2
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-bc3f0df47bfb80a397ae4b8f23b8c0aa.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
1 & -1 & ~~0
\\
0 & ~~3 & -1
\\
0 & ~~0 & ~~2
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
2 & ~~0 & 0
\\
3 & -1 & 0
\\
1 & -1 & 3
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-82e48a12244d0a664439764d8460b342.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
2 & ~~0 & 0
\\
3 & -1 & 0
\\
1 & -1 & 3
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos no situados en la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
~~2 & ~~0 & ~~0
\\
~~0 & -1 & ~~0
\\
~~0 & ~~0 & ~~3
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-7243130e96bfab5fa81a6d6c3f538afa.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
~~2 & ~~0 & ~~0
\\
~~0 & -1 & ~~0
\\
~~0 & ~~0 & ~~3
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
2 & {0} & {0}
\\
{0} & 2 & {0}
\\
{0} & {0} & 2
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-0c8108a994f140b623c5323aab03f2e4.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
2 & {0} & {0}
\\
{0} & 2 & {0}
\\
{0} & {0} & 2
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
Matriz unidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos
.
Ejemplo:
![</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
1 & {0} & {0}
\\
{0} & 1 & {0}
\\
{0} & {0} & 1
\end{array}
\right)
</pre>
<p>](/images/math/math-992b5c285926278d809ff3bdadf8a15d.png "</p>
<pre> \left(
\begin{array}[c]{ccc}
1 & {0} & {0}
\\
{0} & 1 & {0}
\\
{0} & {0} & 1
\end{array}
\right)
</pre>
<p>")
