Procedimiento para factorizar un polinomio

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Procedimiento para factorizar un polinomio

1. Sacamos $x$ factor común, si ello es posible.

2. Si el polinomio $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ es de grado dos:

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c$

resolvemos la ecuación

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = ax^2 + bx + c = 0$

Si esta ecuación no tiene solución, el polinomio $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ es irreducible, pero si la ecuación anterior tiene soluciones $r_1$ y $r_2$ , entonces podemos factorizar $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ de la siguiente manera:

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a \cdot \left( \, x - r_1 \, \right) \cdot \left( \, x - r_2 \, \right)$

Puede ocurrir que $r_1$ y $r_2$ coincidan ( sean iguales ).

Si el polinomio

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot x + a_0$

• es de grado mayor que dos

• sus coeficientes son enteros, y

• $\frac{a_0}{a_n}$ es un número entero

utilizamos la regla de Ruffini con los divisores de [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] y el polinomio $\mathrm{P} \left( \, x \, \right)$ .

   si y solo si      es  divisor de   [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].

Ejemplo

Factorizemos el polinomio:

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x$

Como se puede sacar un $x$ factor común, eso es lo primero que hacemos:

$\mathrm{P} \left( \, x \, \right) = 2x^4 - 12x^3 + 22x^2 - 12x = x \cdot \left( \, 2x^3 - 12x^2 + 22x - 12 \, \right)$

A continuación factorizamos

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Como se trata de un polinomio de grado mayor que dos, utilizamos la regla de Ruffini para ver si podemos encontrar alguna de sus raices. Los candidatos a raiz que consideramos son los divisores de $\frac{-12}{2} = -6$ , que son [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]