La derivada como una tasa de variación instantánea

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Tasa de variación media

Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:

En este caso, la posición, $y$ , se puede ver como una función, $\mathrm{f}$ , del tiempo, $x$ ; es decir:

$y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante $9$ al instante $13.4$ es:

$\frac{\mathrm{f} \left( \, 13.4 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, 9 \, <pre> \right)}{13.4 \, - \, 9} \, = \, \frac{6.7 \, - \, 4.5}{13.4 \, - \, 9} \, = \, 0.5 </pre> $

En general, la tasa de variación media de la función $\mathrm{f}$ en el periodo que va desde el instante $t_1$ hasta el instante $t_2$ se define como el cociente:

$\frac{\mathrm{f} \left( \, t_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f} \left( \, t_1 \, <pre> \right)}{t_2 \, - \, t_1} </pre> $

Tasa de variación instantánea

La tasa de variación instantánea de la función $\mathrm{f}$ en el instante $x \, = \, t_1$ se obtiene haciendo tender $t_2$ a $t_1$ en la tasa de variación media de la función $\mathrm{f}$ en el periodo $\left[ <pre> \, t_1, \, t_2 \, </pre> \right].$ . Por tanto, la tasa de variación instantánea de la función $\mathrm{f}$ en el instante $x \, = \, t_1$ es