Función derivada y derivadas sucesivas

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Una función $\mathrm{f}$ es derivable en el intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ si lo es en cada punto de dicho intervalo.

Si $\mathrm{f}$ es una función derivable en el intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, \right) \subset \mathbb{R} </pre> $ , la función derivada de $\mathrm{f}$ es la que a cada $x \in \left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ le hace corresponder la derivada de $\mathrm{f}$ en dicho punto. Esta función se designa por $\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)$ .

Llamamos derivada de segundo orden o derivada segunda de $\mathrm{f}$ a la función derivada de $\mathrm{f}^\prime$ . Esta función se denota por $\mathrm{f}^{\prime \prime}$ .

Llamamos derivada de tercer orden o derivada tercera de $\mathrm{f}$ a la función derivada de $\mathrm{f}^{\prime\prime}$ . Esta función se denota por $\mathrm{f}^{\prime \prime \prime}$ .

En general, llamamos derivada n-ésima de $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ y la denotamos por $\mathrm{f}^{\left( \, n \, \right)}$ a la función derivada de $\mathrm{f}^{\left( \, n \, - \, 1 \, \right)}$ .

Así

$\begin{array}{l} <pre> \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \mathrm{f}^{\left( \, 0 \, \right)} \left( \, x \, \right) \\ \mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) = \mathrm{f}^{\left( \, 1 \, \right)} \left( \, x \, \right) \\ \mathrm{f}^{\prime\prime} \left( \, x \, \right) = \mathrm{f}^{\left( \, 2 \, \right)} \left( \, x \, \right) </pre> \end{array}$