Indeterminaciones
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Introducción
Muchas de las funciones elementales que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.
Las funciones elementales son aquellas que se utilizan para construir otras funciones mediante las operaciones con funciones: suma, resta, división, multiplicación, composición, etc.
Son funciones elementales los polinomios, las funciones exponenciales , el coseno, el seno, etc.
Si una función es continua en , el limite de cuando tiende a se puede calcular simplemente evaluando en .
Ejemplo 0
Como es una función continua en todo se tiene que
Indeterminación del tipo 0/0
En muchos casos, el limite se calcula utilizando las propiedades de los limites.
Por ejemplo, si existen los limites
y
entonces se puede calcular el límite
dividiendo entre :
¿Pero que sucede cuando ?
Pueden darse dos casos:
- 1. , o bien
- 2. .
En este último caso, de existir el limite
se ha de calcular de otra manera.
Procedimiento 1
Si y son polinomios, entonces se puede dividir ambos por , cuantas veces sea posible.
Ejemplo 1
Calculemos el limite
con
Ambos polinomios, y , se anulan en , por lo tanto ambos son divisibles por .
Si dividimos y por una vez y luego otra, nos queda que
Todas esas divisiones se puede hacer por la regla de Ruffini.
Ejemplo 2
Calculemos
Como la funcion seno y la funcion identidad son funciones continuas, lo primero que hacemos es sustituir por cero en
con lo que obtenemos la indeterminación .
Esto NO significa que el limite NO exista, de hecho si derivamos el numerador y el denominador en obtenemos que cuando tiende a tiende a 1.
Por lo tanto, por la regla de L'Hôpital
El ultimo límite se calcula teniendo en cuenta que la función coseno es continua
Ejemplo 3
Calculemos el limite del ejemplo 1 utilizando la regla de L'Hôpital y comprobemos que el resultado es el mismo que obtuvimos utilizando el procedimiento 1.
Indeterminación del tipo infinito/infinito
Supongamos que queremos calcular el limite de
y que .
Puede darse dos casos, o bien:
- 1. , o bien
- 2. .
En el primer caso .
En este segundo caso se dice que se tiene una indeterminación del tipo .
Veamos a continuación diferentes metodos de calcular limites cuando se llega a una indeterminacion del tipo .
Con este tipo de indeterminaciones tambien se puede utilizar la regla regla de L'Hôpital.
Procedimiento 3
Si y son polinomios y es mas o menos infinito, se puede proceder de la siguiente manera:
- 1. se divide ambos polinomios por la mayor potencia de en el denominador y el numerador ( elevado al mayor de los grados de ambos polinomios )
- 2. se simplifican las fracciones de potencias de , y
- 3. se hace tender a .
Ejemplo 4
Observese que tanto el denominador como el numerador de
tienden a cuando tiende a .
Calculemos de nuevo el mismo limite utilizando la regla de L'Hôpital
Indeterminación del tipo 0 por infinito
Este tipo de indeterminaciones se tranforman en indeterminaciones de alguno de los dos tipos vistos anteriormente (0/0 y infinito/infinito).
Si y , entonces el limite
se puede reescribir de la siguiente manera:
con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo dado que
Alternativamente el limite
se puede poner como
con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo dado que