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Función derivada de la composición de funciones
De Wikillerato
en el punto
,
, si existe, es el valor del limite:
.
Si
es un número real, la función
es derivable en
.
Si
no es un número real o el límite no existe, la función
no es derivable en dicho punto.
Ejemplo
Calculemos la derivada de
en
:
%% }}}
%% {{{ =tasas de variación
Tasa de variación media
Supongamos que un coche de fórmula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniendose la siguiente tabla:
En este caso, la posición,
, se puede ver como una función,
, del tiempo,
; es decir:
La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el
instante
al instante
es:
En general, la tasa de variación media de la función
en
![\left[
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]](/images/math/math-8e146dde08a38232680af38266cb8d8c.png "\left[
</p>
<pre> \, a, \, b \,
</pre>
<p>\right]")
se define como el cociente:
Tasa de variación instantánea
La tasa de variación instantánea de la función
en el punto
se obtiene haciendo tender
a
en la tasa de variación media de la función
en el intervalo
; por tanto, la tasa de variación instantánea de la función
en el punto
es
que es precisamente la derivada de la función
en el punto
.
NOTA: En el límite anterior
.
%% }}} %% {{{ =Derivadas de las funciones elementales
%% }}} %% {{{ =función derivada
Si
es una función derivable en el intervalo
, la función derivada de
es la que a cada
le hace corresponder la derivada de
en dicho punto. Esta función se designa por
.
Una función
es derivable en el intervalo
si lo es en cada punto del intervalo.
Llamamos derivada de segundo orden de
a la función derivada de
.
Esta función se denota por
.
es la derivada tercera de
y, en general,
es la derivada n-ésima de
:
es la función derivada de
.
%% }}} %% {{{ =significado geométrico de la derivada
Consideremos la grafica de una función
. Tomemos un punto
en dicha grafica y consideremos una sucesión de puntos
en la grafica de
. Supongamos que todos estos puntos estan a la derecha de
y que cuando
,
.
La recta que pasa por los puntos
y
es una secante a la grafica de la función
. De esta forma, hay una secante para cada punto
. Sea
la recta que pasa por
y por
.
Cuando
tiende a
,
tiende a la tangente a la grafica de la función
en el punto
,
:
Habria de esperar, pues, que la pendiente de
tienda a la pendiente de
cuando
tiende a
. Como la pendiente de
es una tasa de variación
media:
(
abcisa de
)
su limite cuando
es una tasa de variación instantánea, la derivada de
en
; es decir la pendiente de
es la derivada de
en
.
%% }}} %% {{{ =función derivada de las operaciones de funciones
Tabla de contenidos |
Derivada de la suma
La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:
Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones.
Derivada de la diferencia
La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:
Derivada del producto
La derivada del producto de dos funciones,
y
, viene dada por la fórmula:
Derivada del cociente
La derivada del cociente
viene dada por la fórmula:
%% }}} %% {{{ =composición de funciones
El componer dos funciones
y
consiste en aplicar
al resultado de calcular
, es decir:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
La derivada de
viene dada por la fórmula:
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
resultado que se conoce como regla de la cadena.
