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¿Qué es una matriz?

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)
(→Ejemplo:)
Línea 1: Línea 1:
-
==Definición de matriz==
+
A una matriz cuadrada le podemos asociar un número que, como veremos con posterioridad,
 +
nos permitirá estudiar y resolver un sistema de ecuaciones lineales y examinar si una
 +
matriz dada posee matriz inversa y calcularla.
-
<br/>
+
Este número que vamos a asociar a una matriz cuadrada lo llamaremos determinante de dicha
 +
matriz. Veamos su calculo para matrices cuadradas de orden 2, y con posterioridad
 +
calcularemos determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.
-
Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension
+
Para una matriz cuadrada de orden 2, &nbsp;
-
&nbsp;
+
-
<math>
+
-
m \times n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; a un conjunto de números reales dispuestos en &nbsp;
+
-
<math>
+
-
m
+
-
</math>
+
-
&nbsp; filas y &nbsp;
+
-
<math>
+
-
n
+
-
</math>
+
-
&nbsp; columnas de la siguiente forma &nbsp;
+
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
<center>
+
<math>
<math>
 +
A =
\left(
\left(
-
\begin{array}[c]{cccc}
+
\begin{array}[c]{cc}
-
a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n}
+
a_{11} & a_{12}
\\
\\
-
a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n}
+
a_{21} & a_{22}
-
\\
+
-
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
+
-
\\
+
-
a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn}
+
\end{array}
\end{array}
\right)
\right)
</math>
</math>
-
</center>
+
&nbsp; se llama determinante de &nbsp;
-
 
+
-
<br/>
+
-
 
+
-
La matriz &nbsp;
+
<math>
<math>
-
A
+
A
</math>
</math>
-
&nbsp; se puede designar tambien como &nbsp;
+
&nbsp; al número real:
-
<math>
+
-
\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad
+
-
</math>
+
-
&nbsp; donde
+
<br/>
<br/>
Línea 52: Línea 28:
<center>
<center>
<math>
<math>
-
\left\{
+
\makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| =
-
\begin{array}[c]{l}
+
\left|
-
i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m
+
\begin{array}{cc}
 +
a_{11} & a_{12}
\\
\\
-
j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n
+
a_{21} & a_{22}
\end{array}
\end{array}
-
\right.
+
\right|
 +
= a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}
</math>
</math>
</center>
</center>
<br/>
<br/>
-
 
-
Un elemento generico de la matriz se designa por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
a_{ij}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; en el cual el subindice &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i
 
-
</math>
 
-
&nbsp; representa el numero de fila que ocupa el elemento y el subindice &nbsp;
 
-
<math>
 
-
j
 
-
</math>
 
-
&nbsp; el numero de columna.
 
-
 
-
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times n
 
-
</math>
 
-
&nbsp; se denota por:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
M_{m \times n}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
El conjunto de matrices de dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n \times n
 
-
</math>
 
-
, &nbsp; tambien llamadas de orden &nbsp;
 
-
<math>
 
-
n
 
-
</math>
 
-
, &nbsp; se denota por:
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
M_n
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:
 
-
 
-
* la diagonal principal formada por los elementos de la forma &nbsp;
 
-
<math>
 
-
a_{ii}
 
-
</math>
 
-
&nbsp;
 
-
 
-
*la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma &nbsp;
 
-
<math>
 
-
a_{ij}
 
-
</math>
 
-
&nbsp; tales que &nbsp;
 
-
<math>
 
-
i + j = n + 1
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
[[Image:diagonales.gif]]
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Una '''matriz rectangular''' es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
 
-
&nbsp;
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
m \neq n
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo: matriz rectangular====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
1 & -1 & ~~0
 
-
\\
 
-
2 & ~~3 & -1
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
'''Matriz fila''' es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
1 \times n
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo: matriz fila====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
-1 & 3 & 5
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
''''Matriz columna'''' es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension &nbsp;
 
-
<math>
 
-
m \times 1
 
-
</math>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo: matriz columna====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{c}
 
-
-1
 
-
\\
 
-
~~3
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
Una '''matriz nula''' es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota
 
-
por &nbsp;
 
-
<math>
 
-
0
 
-
</math>
 
-
.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo: matriz nula====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
0 & 0 & 0
 
-
\\
 
-
0 & 0 & 0
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
'''Matriz triangular superior''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 
-
situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo: matriz triangular superior====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
1 & -1 & ~~0
 
-
\\
 
-
0 & ~~3 & -1
 
-
\\
 
-
0 & ~~0 & ~~2
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
'''Matriz triangular inferior''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 
-
situados por encima de la diagonal principal son ceros.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo: matriz triangular inferior====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
2 & ~~0 & 0
 
-
\\
 
-
3 & -1 & 0
 
-
\\
 
-
1 & -1 & 3
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
'''Matriz diagonal''' es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos
 
-
no situados en la diagonal principal son ceros.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo: matriz diagonal====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
~~2 & ~~0 & ~~0
 
-
\\
 
-
~~0 & -1 & ~~0
 
-
\\
 
-
~~0 & ~~0 & ~~3
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
'''Matriz escalar''' es toda matriz diagonal en la que todos los terminos
 
-
de la diagonal principal son iguales.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo: matriz escalar====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
2 & {0} & {0}
 
-
\\
 
-
{0} & 2 & {0}
 
-
\\
 
-
{0} & {0} & 2
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
'''Matriz unidad''' es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos
 
-
&nbsp;
 
-
<math>
 
-
1
 
-
</math>
 
-
.
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
====Ejemplo: matriz unidad====
 
-
 
-
<br/>
 
-
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\left(
 
-
\begin{array}[c]{ccc}
 
-
1 & {0} & {0}
 
-
\\
 
-
{0} & 1 & {0}
 
-
\\
 
-
{0} & {0} & 1
 
-
\end{array}
 
-
\right)
 
-
</math>
 
-
</center>
 

Revisión de 23:08 4 dic 2006

A una matriz cuadrada le podemos asociar un número que, como veremos con posterioridad, nos permitirá estudiar y resolver un sistema de ecuaciones lineales y examinar si una matriz dada posee matriz inversa y calcularla.

Este número que vamos a asociar a una matriz cuadrada lo llamaremos determinante de dicha matriz. Veamos su calculo para matrices cuadradas de orden 2, y con posterioridad calcularemos determinantes de matrices cuadradas de cualquier orden.

Para una matriz cuadrada de orden 2,   A = \left( </p> <pre> \begin{array}[c]{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} </pre> <p>\right)   se llama determinante de   A   al número real:


\makebox{det} \left( A \right) = \left| A \right| = \left| </p> <pre> \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} </pre> <p>\right| = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}


Obtenido de "http://wikillerato.org/%C2%BFQu%C3%A9_es_una_matriz%3F.html"
   
 
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