Navegación
Composición de movimientos
De Wikillerato
| Línea 40: | Línea 40: | ||
De las ecuaciones paramétricas se puede deducir: | De las ecuaciones paramétricas se puede deducir: | ||
| - | '''Altura | + | '''Altura y alcances máximos:''' |
La altura máxima <math>y^{*}</math> corresponde al punto donde <math>v_y = 0</math>, es decir <math>0 = v0 \sin \alpha - g t</math>, de donde | La altura máxima <math>y^{*}</math> corresponde al punto donde <math>v_y = 0</math>, es decir <math>0 = v0 \sin \alpha - g t</math>, de donde | ||
| - | <math> t = frac{ v0 \sin\alpha }{ g } | + | <math> t = \frac{ v0 \sin\alpha }{ g }</math> |
Sustituyendo este valor de <math>t</math> en la ecuación de <math>x</math> | Sustituyendo este valor de <math>t</math> en la ecuación de <math>x</math> | ||
| - | <math> x = v_0 \cos\alpha frac{ v0 \sin\alpha }{ g }\</math> | + | <math> x = v_0 \cos\alpha \frac{ v0 \sin\alpha }{ g }\</math> |
| - | <math> x = frac{ v_0^2\ sin\alpha \cos\alpha }{ g }\</math> | + | <math> x = \frac{ v_0^2\ sin\alpha \cos\alpha }{ g }\</math> |
multiplicando y dividiendo por 2 | multiplicando y dividiendo por 2 | ||
| - | <math> x = frac{ v_0^2\ sin{ 2\alpha}} { 2 g }\</math> | + | <math> x = \frac{ v_0^2\ sin{ 2\alpha}} { 2 g }\</math> |
Esta es la abcisa que corresponde a la altura máxima <math>y^{*}</math> , teniendo en cuenta que la parábola es una curva simétrica con respecto al vértice, tendremos que el alcance máximo <math>x^{*}</math> será el doble del de la y máxima, por lo tanto | Esta es la abcisa que corresponde a la altura máxima <math>y^{*}</math> , teniendo en cuenta que la parábola es una curva simétrica con respecto al vértice, tendremos que el alcance máximo <math>x^{*}</math> será el doble del de la y máxima, por lo tanto | ||
| - | <math> x_^{*} | + | <math> x_^{*} = frac{ v0^2\sin{ 2\alpha}} { g }\</math> |
Para conocer la <math>y^{*}</math> nos bastará sustituir el t correspondiente en la ecuación paramétrica de la y: | Para conocer la <math>y^{*}</math> nos bastará sustituir el t correspondiente en la ecuación paramétrica de la y: | ||
| - | <math> y^{*} = v_0 \sin\alpha frac { 2 v_0 \sin\alpha}{ g } - frac {1}{2} g frac{2 v_0 \sin\alpha }{g})^2\</math> | + | <math> y^{*} = v_0 \sin\alpha frac { 2 v_0 \sin\alpha}{ g } - frac {1}{2} g \left (frac{2 v_0 \sin\alpha }{g}\right )^2\</math> |
Con lo cual <math> y^{*} = frac{ v_0^2\ sin^2\ alpha}{ 2 g }\</math> | Con lo cual <math> y^{*} = frac{ v_0^2\ sin^2\ alpha}{ 2 g }\</math> | ||
Revisión de 15:42 14 dic 2006
Composición de movimientos rectilíneos y uniformes
En la vida práctica se trataría del movimiento que sigue un nadador que atraviesa un río, de orilla a orilla, de corriente muy suave en ausencia de remolinos.
La intención del nadador es atravesar el río de modo perpendicular a las orillas. De hecho, si tomara un objeto en la otra orilla como referencia, justo enfrente del lugar desde donde se lanzaría al agua, para llegar a ese punto, se vería a realizar un esfuerzo contra la corriente y dar sus brazos de modo oblicuo. En caso contrario sus brazadas le llevarán a un lugar de la orilla opuesta río abajo, más o menos abajo en función de la velocidad de la corriente y del tiempo que tardase en atravesar el río. Su dirección sería la de la resultante de la propia velocidad y de la de la corriente.
Para este movimiento tendríamos una ecuación:
de modo que el módulo de la velocidad resultante viene dado por:
Composición de un movimiento rectilíneo y uniforme con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado perpendicular al anterior
Consideremos el lanzamiento de una partícula sometida al campo gravitatorio terrestre, que consideraremos siempre vertical e igual a 
. La velocidad de la partícula forma un ángulo 
con la horizontal en el instante del lanzamiento.
Nosotros podremos abordar el estudio del movimiento de la partícula como el resultado de la suma geométrica de un movimiento rectilíneo y uniforme sobre el eje 
y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con aceleración igual a 
que se desarrolla sobre el eje 
.
y 
y 
y 
A estas ecuaciones se les llama ecuaciones paramétricas del movimiento, pues ambas coordenadas, 
e 
, son función del parámetro 
.
Si eliminamos el tiempo entre las dos últimas ecuaciones paramétricas, se obtiene
![y = x tan a - frac{1}{2}\frac{x^2}{ v0^2\ cos^2\ a}\](/images/math/math-f64983367b65ef4c9d46c4925cb5b039.png "y = x tan a - frac{1}{2}\frac{x^2}{ v0^2\ cos^2\ a}\")
De las ecuaciones paramétricas se puede deducir:
Altura y alcances máximos:
La altura máxima 
corresponde al punto donde 
, es decir 
, de donde
Sustituyendo este valor de en la ecuación de
![x = v_0 \cos\alpha \frac{ v0 \sin\alpha }{ g }\](/images/math/math-39b9c4a65d34021ffbef240f7640519d.png "x = v_0 \cos\alpha \frac{ v0 \sin\alpha }{ g }\")
![x = \frac{ v_0^2\ sin\alpha \cos\alpha }{ g }\](/images/math/math-253a126feed38138fa5c44f98b7000c5.png "x = \frac{ v_0^2\ sin\alpha \cos\alpha }{ g }\")
multiplicando y dividiendo por 2
![x = \frac{ v_0^2\ sin{ 2\alpha}} { 2 g }\](/images/math/math-4a46c6cad34e34d2a9c41b2b0e1f6a5e.png "x = \frac{ v_0^2\ sin{ 2\alpha}} { 2 g }\")
Esta es la abcisa que corresponde a la altura máxima , teniendo en cuenta que la parábola es una curva simétrica con respecto al vértice, tendremos que el alcance máximo 
será el doble del de la y máxima, por lo tanto
![x_^{*} = frac{ v0^2\sin{ 2\alpha}} { g }\](/images/math/math-2a39777b6403f7f64a997bb9efbcaf76.png "x_^{*} = frac{ v0^2\sin{ 2\alpha}} { g }\")
Para conocer la nos bastará sustituir el t correspondiente en la ecuación paramétrica de la y:
![y^{*} = v_0 \sin\alpha frac { 2 v_0 \sin\alpha}{ g } - frac {1}{2} g \left (frac{2 v_0 \sin\alpha }{g}\right )^2\](/images/math/math-6d391da1f08b7d490d9662bbe4af22fa.png "y^{*} = v_0 \sin\alpha frac { 2 v_0 \sin\alpha}{ g } - frac {1}{2} g \left (frac{2 v_0 \sin\alpha }{g}\right )^2\")
Con lo cual ![y^{*} = frac{ v_0^2\ sin^2\ alpha}{ 2 g }\](/images/math/math-d3b36d33855bf3c16949a8ad5fd7d2e8.png "y^{*} = frac{ v_0^2\ sin^2\ alpha}{ 2 g }\")
