Composición de movimientos

De Wikillerato

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 15:52 14 dic 2006

Composición de movimientos rectilíneos y uniformes

En la vida práctica se trataría del movimiento que sigue un nadador que atraviesa un río, de orilla a orilla, de corriente muy suave en ausencia de remolinos.

La intención del nadador es atravesar el río de modo perpendicular a las orillas. De hecho, si tomara un objeto en la otra orilla como referencia, justo enfrente del lugar desde donde se lanzaría al agua, para llegar a ese punto, se vería a realizar un esfuerzo contra la corriente y dar sus brazos de modo oblicuo. En caso contrario sus brazadas le llevarán a un lugar de la orilla opuesta río abajo, más o menos abajo en función de la velocidad de la corriente y del tiempo que tardase en atravesar el río. Su dirección sería la de la resultante de la propia velocidad y de la de la corriente.

Para este movimiento tendríamos una ecuación:

$\vec v_{resultante} = v_{corriente} \,\vec i + v_{nadador}\, \vec j$

de modo que el módulo de la velocidad resultante viene dado por:

$v_{resultante} = \sqrt {v_{corriente}^2\ + v_{nadador} ^2}$

Composición de un movimiento rectilíneo y uniforme con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado perpendicular al anterior

Consideremos el lanzamiento de una partícula sometida al campo gravitatorio terrestre, que consideraremos siempre vertical e igual a $- g$ . La velocidad de la partícula forma un ángulo $\alpha\neq\pi/2$ con la horizontal en el instante del lanzamiento.

Nosotros podremos abordar el estudio del movimiento de la partícula como el resultado de la suma geométrica de un movimiento rectilíneo y uniforme sobre el eje $OX$ y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con aceleración igual a $â�� g$ que se desarrolla sobre el eje $0Y$ .

$a_x = 0$ y $a_y = -g$

$v_x = v_0\cos\alpha$ y $v_x = v_0\sin\alpha - gt$

$x = v_0\cos\alpha t$ y $y = v_0\sin\alpha t - \frac{1}{2}gt^2$

A estas ecuaciones se les llama ecuaciones paramétricas del movimiento, pues ambas coordenadas, $x$ e $y$ , son función del parámetro $t$ .

Si eliminamos el tiempo entre las dos últimas ecuaciones paramétricas, se obtiene

$y = x \tan\alpha- \frac{1}{2} \frac{x^2}{ v_0^2\ cos^2\alpha}$

De las ecuaciones paramétricas se puede deducir:

Altura y alcances máximos:

La altura máxima $y^{*}$ corresponde al punto donde $v_y = 0$ , es decir $0 = v0 \sin \alpha - g t$ , de donde

$t = \frac{ v_0 \sin\alpha }{ g }$

Sustituyendo este valor de $t$ en la ecuación de $x$

$x = v_0 \cos\alpha \frac{ v_0 \sin\alpha }{ g }$

$x = \frac{ v_0^2\ sin\alpha \cos\alpha }{ g }$

multiplicando y dividiendo por 2

$x = \frac{2 v_0^2\ sin{2\alpha}} { 2 g }$

Esta es la abcisa que corresponde a la altura máxima $y^{*}$ , teniendo en cuenta que la parábola es una curva simétrica con respecto al vértice, tendremos que el alcance máximo $x^{*}$ será el doble del de la y máxima, por lo tanto