Indeterminaciones

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Tabla de contenidos

1 Introducción
- 1.1 Ejemplo 0
2 Indeterminación del tipo 0/0
3 Indeterminación del tipo infinito/infinito
- 3.1 Procedimiento 3
- 3.2 Ejemplo 4
4 Indeterminación del tipo 0 por infinito

Introducción

Muchas de las funciones elementales que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.

Las funciones elementales son aquellas que se utilizan para construir otras funciones mediante las operaciones con funciones: suma, resta, división, multiplicación, composición, etc.

Son funciones elementales los polinomios, las funciones exponenciales $\left( \, a^x, \, a > 0 \right)$ , el coseno, el seno, etc.

Si una función $\mathrm{f}$ es continua en $x_0 \in \mathbb{R}$ , el limite de $\mathrm{f}$ cuando $x$ tiende a $x_0$ se puede calcular simplemente evaluando $\mathrm{f}$ en $x_0$ .

Ejemplo 0

Como $\mathrm{f}\left( \, x \, \right) = x^2$ es una función continua en todo $\mathbb{R}$ se tiene que

$\lim_{x \to 5} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \mathrm{f} \left( \, 5 \, \right) = 25$

Indeterminación del tipo 0/0

En muchos casos, el limite se calcula utilizando las propiedades de los limites.

Por ejemplo, si existen los limites

$\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right), \, \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)$

$\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right) \neq 0$

entonces se puede calcular el límite

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x <pre> \, \right)} </pre> $

dividiendo $ <pre>\lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \, \right) </pre> $ entre $\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}$ :

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x <pre> \, \right)} = \frac{\lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \, \right)}{\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)} </pre> $

¿Pero que sucede cuando $\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = 0$ ?

Pueden darse dos casos:

1. $\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \neq 0$ , o bien

2. $\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0$ .

En este último caso, de existir el limite

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}$

se ha de calcular de otra manera.

Procedimiento 1

Si $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ son polinomios, entonces se puede dividir ambos por $x - x_0$ , cuantas veces sea posible.

Ejemplo 1

Calculemos el limite

$\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}$

con

$\left\{ <pre> \begin{array}{l} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3 - x^2 - x + 1 \\ \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - 3x + 2 \end{array} </pre> \right.$

Ambos polinomios, $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ , se anulan en $x = 1$ , por lo tanto ambos son divisibles por $x - 1$ .

Si dividimos $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ por $x - 1$ una vez y luego otra, nos queda que

$\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x <pre> \, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2} = </pre> \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{\lim_{x \to 1} \left( \, x + 1 \, \right)} {\lim_{x \to 1} \left( \, x + 2 \, \right)} = \frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}$

Todas esas divisiones se puede hacer por la regla de Ruffini.

Procedimiento 2

Tanto si $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ son polinomios, como si no lo son, se puede utilizar la regla de L'Hôpital:

Si existe

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, <pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} </pre> $

ya sea $x_0$ real, infinito o menos infinito, entonces

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} = \lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, <pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} </pre> $

donde $\mathrm{f}^\prime$ y $\mathrm{g}^\prime$ son las derivadas de $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ .

Ejemplo 2

Calculemos

$\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}$

Como la funcion seno y la funcion identidad $\left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x \, \right)$ son funciones continuas, lo primero que hacemos es sustituir $x$ por cero en

$\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}$

con lo que obtenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$ .

Esto NO significa que el limite NO exista, de hecho si derivamos el numerador y el denominador en $\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}$ obtenemos $\frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1}$ que cuando $x$ tiende a $0$ tiende a 1.

Por lo tanto, por la regla de L'Hôpital

$\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} = 1$

El ultimo límite se calcula teniendo en cuenta que la función coseno es continua

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1} = \frac{\cos \left( \, 0 \, \right)}{1} = 1$

Ejemplo 3

Calculemos el limite del ejemplo 1 utilizando la regla de L'Hôpital y comprobemos que el resultado es el mismo que obtuvimos utilizando el procedimiento 1.

$\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right)} {\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{2x}{2x + 1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{2}{3}$

Indeterminación del tipo infinito/infinito

Supongamos que queremos calcular el limite de

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x <pre> \, \right)} </pre> $

y que $ <pre> \lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)} = \infty </pre> $ .

Puede darse dos casos, o bien:

1. $\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \in \mathbb{R}$ , o bien

2. $\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \infty$ .

En el primer caso $\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x <pre> \, \right)} = 0 </pre> $ .

En este segundo caso se dice que se tiene una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ .

Veamos a continuación diferentes metodos de calcular limites cuando se llega a una indeterminacion del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ .

Con este tipo de indeterminaciones tambien se puede utilizar la regla regla de L'Hôpital.

Procedimiento 3

Si $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ son polinomios y $x_0$ es mas o menos infinito, se puede proceder de la siguiente manera:

1. se divide ambos polinomios por la mayor potencia de $x$ en el denominador y el numerador ( $x$ elevado al mayor de los grados de ambos polinomios )

2. se simplifican las fracciones de potencias de $x$ , y

3. se hace tender $x$ a $\infty$ .

Ejemplo 4

$\lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1} = \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{x^2}{x^3} - \frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} + <pre> \frac{x}{x^3} + \frac{1}{x^3}} = </pre> \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}{1 + <pre> \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = </pre> $

$ <pre>= \frac{\lim_{x \to \infty} \left( \, \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3} \, \right)}{\lim_{x \to \infty } \left( \, 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \, \right)} = \frac{0 + 0}{1 + 0 + 0} = 0 </pre> $