Indeterminaciones
De Wikillerato
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==Introducción== | ==Introducción== | ||
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- | + | Las funciones elementales son aquellas que se utilizan para construir otras | |
+ | funciones mediante las operaciones con funciones: suma, resta, división, | ||
+ | multiplicación, composición, etc. | ||
- | + | Son funciones elementales los polinomios, las funciones exponenciales | |
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\left( \, a^x, \, a > 0 \right) | \left( \, a^x, \, a > 0 \right) | ||
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, el coseno, el seno, etc. | , el coseno, el seno, etc. | ||
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En muchos casos, el limite se calcula utilizando las [[Propiedades de los límites|propiedades de los limites]]. | En muchos casos, el limite se calcula utilizando las [[Propiedades de los límites|propiedades de los limites]]. | ||
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Por ejemplo, si existen los limites | Por ejemplo, si existen los limites | ||
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\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x | \lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x | ||
\, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2} = | \, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2} = | ||
- | \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x | + | \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x + 2} = |
+ | \frac{\displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \, x + 1 \, \right)} | ||
+ | {\displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \, x + 2 \, \right)} = | ||
+ | \frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3} | ||
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+ | comprobemos que el resultado es el mismo que obtuvimos utilizando el | ||
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+ | \lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)} = | ||
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+ | \lim_{x \to 1} \frac{2x}{2x + 1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{2}{3} | ||
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+ | [[Indeterminaciones#Procedimiento 2|regla de L'Hôpital]]. | ||
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+ | #1. se divide ambos polinomios por la mayor potencia de <math> x </math> en el denominador y el numerador ( <math> x </math> elevado al mayor de los grados de ambos polinomios ) | ||
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+ | #2. se simplifican las fracciones de potencias de <math> x </math>, y | ||
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+ | \lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - 1}{x^3 + x + 1} = | ||
+ | \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{x^2}{x^3} - \frac{1}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} + | ||
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+ | \lim_{x \to \infty } \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}{1 + | ||
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+ | = \frac{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \, \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3} | ||
+ | \, \right)}{\displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( \, 1 + | ||
+ | \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} \, \right)} = \frac{0 + 0}{1 + 0 + 0} = 0 | ||
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+ | Observese que tanto el denominador como el numerador de | ||
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+ | Calculemos de nuevo el mismo limite utilizando la regla de L'Hôpital | ||
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+ | Este tipo de indeterminaciones se tranforman en indeterminaciones de alguno de | ||
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+ | \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0 | ||
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+ | <br/> | ||
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+ | [[Categoría:Matemáticas]] |
Revisión actual
Tabla de contenidos |
Introducción
Muchas de las funciones elementales que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.
Las funciones elementales son aquellas que se utilizan para construir otras funciones mediante las operaciones con funciones: suma, resta, división, multiplicación, composición, etc.
Son funciones elementales los polinomios, las funciones exponenciales , el coseno, el seno, etc.
Si una función es continua en , el limite de cuando tiende a se puede calcular simplemente evaluando en .
Ejemplo 0
Como es una función continua en todo se tiene que
Indeterminación del tipo 0/0
En muchos casos, el limite se calcula utilizando las propiedades de los limites.
Por ejemplo, si existen los limites
y
entonces se puede calcular el límite
dividiendo entre :
¿Pero que sucede cuando ?
Pueden darse dos casos:
- 1. , o bien
- 2. .
En este último caso, de existir el limite
se ha de calcular de otra manera.
Procedimiento 1
Si y son polinomios, entonces se puede dividir ambos por , cuantas veces sea posible.
Ejemplo 1
Calculemos el limite
con
Ambos polinomios, y , se anulan en , por lo tanto ambos son divisibles por .
Si dividimos y por una vez y luego otra, nos queda que
Todas esas divisiones se puede hacer por la regla de Ruffini.
Procedimiento 2
Tanto si y son polinomios, como si no lo son, se puede utilizar la regla de L'Hôpital:
Si existe
ya sea real, infinito o menos infinito, entonces
donde y son las derivadas de y .
Ejemplo 2
Calculemos
Como la funcion seno y la funcion identidad son funciones continuas, lo primero que hacemos es sustituir por cero en
con lo que obtenemos la indeterminación .
Esto NO significa que el limite NO exista, de hecho si derivamos el numerador y el denominador en obtenemos que cuando tiende a tiende a 1.
Por lo tanto, por la regla de L'Hôpital
El ultimo límite se calcula teniendo en cuenta que la función coseno es continua
Ejemplo 3
Calculemos el limite del ejemplo 1 utilizando la regla de L'Hôpital y comprobemos que el resultado es el mismo que obtuvimos utilizando el procedimiento 1.
Indeterminación del tipo infinito/infinito
Supongamos que queremos calcular el limite de
y que .
Puede darse dos casos, o bien:
- 1. , o bien
- 2. .
En el primer caso .
En este segundo caso se dice que se tiene una indeterminación del tipo .
Veamos a continuación diferentes metodos de calcular limites cuando se llega a una indeterminacion del tipo .
Con este tipo de indeterminaciones tambien se puede utilizar la regla regla de L'Hôpital.
Procedimiento 3
Si y son polinomios y es mas o menos infinito, se puede proceder de la siguiente manera:
- 1. se divide ambos polinomios por la mayor potencia de en el denominador y el numerador ( elevado al mayor de los grados de ambos polinomios )
- 2. se simplifican las fracciones de potencias de , y
- 3. se hace tender a .
Ejemplo 4
Observese que tanto el denominador como el numerador de
tienden a cuando tiende a .
Calculemos de nuevo el mismo limite utilizando la regla de L'Hôpital
Indeterminación del tipo 0 por infinito
Este tipo de indeterminaciones se tranforman en indeterminaciones de alguno de los dos tipos vistos anteriormente (0/0 y infinito/infinito).
Si y , entonces el limite
se puede reescribir de la siguiente manera:
con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo dado que
Alternativamente el limite
se puede poner como
con lo cual se llegaria a una indeterminacion del tipo dado que