Indeterminaciones

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Revisión de 15:45 25 ago 2010

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Introducción

Muchas de las funciones que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.

Este es el caso de los polinomios, las funciones exponenciales $\left( \, a^x, \, a > 0 \right)$ , el coseno, el seno, etc.

Si una función $\mathrm{f}$ es continua en un punto, el limite de $\mathrm{f}$ cuando $x$ tiende a $x_0 \in \mathbb{R}$ se puede calcular simplemente evaluando $\mathrm{f}$ en $x_0$ .

Ejemplo

Como $\mathrm{f}\left( \, x \, \right) = x^2$ es una función continua en todo $\mathbb{R}$ se tiene que

$\lim_{x \to 5} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \mathrm{f} \left( \, 5 \, \right) = 25$

Indeterminación del tipo 0/0

En muchos casos, el limite se calcula utilizando las propiedades de los limites.

Por ejemplo, si $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ son continuas e $x_0$ y

$\mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right) \neq 0$

entonces

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x <pre> \, \right)} = \frac{\mathrm{f}\left( \, x_0 \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x_0 \, \right)} </pre> $

¿Pero que sucede cuando $\mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right) = 0$ ?

Pueden darse dos casos:

1. $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \neq 0$ , o bien

2. $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0$ .

En el primer caso, la función $\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}}$ tendria una asintota vertical en $x = x_0$ .

En el segundo caso, se debe calcular

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}$

de otra manera.

Procedimiento 1

Si $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ son polinomios, entonces se puede dividir ambos por $x - x_0$ y se vuelve a calcular el limite por el procedimiento usual ( si ello es posible ).

Ejemplo

Calculemos el limite

$\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}$

entoncescon

$\left\{ <pre> \begin{array}{l} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3 - x^2 - x + 1 \\ \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - 3x + 2 \end{array} </pre> \right.$

Ambos polinomios, $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ , se anulan en $x = 1$ , por lo tanto ambos son divisibles por $x - 1$ .

Si dividimos $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ por $x - 1$ nos queda que

$\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x <pre> \, \right)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2} </pre> $

La división se puede hacer por la regla de Ruffini.

Procedimiento 2

Independientemente de como sean $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ se puede utilizar la regla de L`H\^opital: Si existe

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, <pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} </pre> $

ya sea $x_0$ real, infinito o menos infinito, entonces $\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} = \lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, <pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} </pre> $ </center> donde $\mathrm{f}^\prime$ y $\mathrm{g}^\prime$ son las derivadas de $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ .

Ejemplo

Calculemos

$\lim_{x \to 0} \frac{sen \left( \, x \, \right)}{x}$

Como la funcion seno y la funcion identidad $\left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x \, \right)$ son funciones continuas, lo primero que hacemos es sustituir $x$ por cero en

$\frac{\sen \left( \, x \, \right)}{x}$

con lo que obtenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$ . Esto no significa que el limite de exista, de hecho si derivamos el numerador y el denominador en $\frac{\sen \left( \, x \, \right)}{x}$ obtenemos $\frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1}$ que cuando $x$ tiende a $\infty$ tiende a 1.