Indeterminaciones
De Wikillerato
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Revisión de 16:45 25 ago 2010
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Introducción
Muchas de las funciones que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.
Este es el caso de los polinomios, las funciones exponenciales , el coseno, el seno, etc.
Si una función es continua en , el limite de cuando tiende a se puede calcular simplemente evaluando en .
Ejemplo
Como es una función continua en todo se tiene que
Indeterminación del tipo 0/0
En muchos casos, el limite se calcula utilizando las propiedades de los limites.
Por ejemplo, si existen los limites
y
entonces se puede calcular el límite
dividiendo entre :
¿Pero que sucede cuando ?
Pueden darse dos casos:
- 1. , o bien
- 2. .
En este último caso, de existir el limite
se ha de calcular de otra manera.
Procedimiento 1
Si y son polinomios, entonces se puede dividir ambos por , cuantas veces sea posible.
Ejemplo
Calculemos el limite
con
Ambos polinomios, y , se anulan en , por lo tanto ambos son divisibles por .
Si dividimos y por una vez y luego otra, nos queda que
[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]
Todas esas divisiones se puede hacer por la regla de Ruffini.
Procedimiento 2
Independientemente de como sean y se puede utilizar la regla de L'Hôpital:
Si existe
ya sea real, infinito o menos infinito, entonces
donde y son las derivadas de y .
Ejemplo
Calculemos
Como la funcion seno y la funcion identidad son funciones continuas, lo primero que hacemos es sustituir por cero en
con lo que obtenemos la indeterminación .
Esto NO significa que el limite NO exista, de hecho si derivamos el numerador y el denominador en obtenemos que cuando tiende a tiende a 1.
Por lo tanto, por la regla de L'Hôpital
El ultimo límite se calcula teniendo en cuenta que la función coseno es continua
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