Indeterminaciones

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Tabla de contenidos

1 Introducción
- 1.1 Ejemplo
2 Indeterminación del tipo 0/0

Introducción

Muchas de las funciones que se ven en bachillerato son continuas en toda la recta real o en casi todos los puntos de su dominio.

Este es el caso de los polinomios, las funciones exponenciales $\left( \, a^x, \, a > 0 \right)$ , el coseno, el seno, etc.

Si una función $\mathrm{f}$ es continua en $x_0 \in \mathbb{R}$ , el limite de $\mathrm{f}$ cuando $x$ tiende a $x_0$ se puede calcular simplemente evaluando $\mathrm{f}$ en $x_0$ .

Ejemplo

Como $\mathrm{f}\left( \, x \, \right) = x^2$ es una función continua en todo $\mathbb{R}$ se tiene que

$\lim_{x \to 5} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = \mathrm{f} \left( \, 5 \, \right) = 25$

Indeterminación del tipo 0/0

En muchos casos, el limite se calcula utilizando las propiedades de los limites.

Por ejemplo, si existen los limites

$\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right), \, \lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)$

$\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x_0 \, \right) \neq 0$

entonces se puede calcular el límite

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x <pre> \, \right)} </pre> $

dividiendo $ <pre>\lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \, \right) </pre> $ entre $\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)}$ :

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x <pre> \, \right)} = \frac{\lim_{x \to x_0} \mathrm{f}\left( \, x \, \right)}{\lim_{x \to x_0} \mathrm{g}\left( \, x \, \right)} </pre> $

¿Pero que sucede cuando $\lim_{x \to x_0} \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = 0$ ?

Pueden darse dos casos:

1. $\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \neq 0$ , o bien

2. $\lim_{x \to x_0} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 0$ .

En este último caso, de existir el limite

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}$

se ha de calcular de otra manera.

Procedimiento 1

Si $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ son polinomios, entonces se puede dividir ambos por $x - x_0$ , cuantas veces sea posible.

Ejemplo

Calculemos el limite

$\lim_{x \to 1} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g}\left( \, x \, \right)}$

con

$\left\{ <pre> \begin{array}{l} \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x^3 - x^2 - x + 1 \\ \mathrm{g} \left( \, x \, \right) = x^3 - 3x + 2 \end{array} </pre> \right.$

Ambos polinomios, $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ , se anulan en $x = 1$ , por lo tanto ambos son divisibles por $x - 1$ .

Si dividimos $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ por $x - 1$ una vez y luego otra, nos queda que

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Todas esas divisiones se puede hacer por la regla de Ruffini.

Procedimiento 2

Independientemente de como sean $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ se puede utilizar la regla de L'Hôpital:

Si existe

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, <pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} </pre> $

ya sea $x_0$ real, infinito o menos infinito, entonces

$\lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f} \left( \, x \, \right)}{\mathrm{g} \left( \, x \, \right)} = \lim_{x \to x_0} \frac{\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, <pre> \right)}{\mathrm{g}^\prime \left( \, x \, \right)} </pre> $

donde $\mathrm{f}^\prime$ y $\mathrm{g}^\prime$ son las derivadas de $\mathrm{f}$ y $\mathrm{g}$ .

Ejemplo

Calculemos

$\lim_{x \to 0} \frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}$

Como la funcion seno y la funcion identidad $\left( \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = x \, \right)$ son funciones continuas, lo primero que hacemos es sustituir $x$ por cero en

$\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}$

con lo que obtenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$ .

Esto NO significa que el limite NO exista, de hecho si derivamos el numerador y el denominador en $\frac{\mathrm{sen} \left( \, x \, \right)}{x}$ obtenemos $\frac{\cos \left( \, x \, \right)}{1}$ que cuando $x$ tiende a $0$ tiende a 1.